Этьен Безу

Этьен Безу (Étienne Bézout) родился 31 марта 1730 г. в Немуре (Франция). В1763 годуБезу был назначен Этьеном Франсуа де Шуазелем экзаменатором гвардии, отвечал за написание курса математики. После смерти Шарля-Этьена Камю в 1768 году он был назначен экзаменатором студентов артиллерийского корпуса и написал Полный курс математики для использования во флоте и артиллерии , который позже стал справочником кандидатов в вступительный экзамен в Политехническую школу.

Он являлся автором « Общей теории алгебраических уравнений» , опубликованной в 1779 г. и посвященной теории исключения и симметричным функциям корней алгебраического уравнения. Безу использует определители в статье «ИсторияКоролевской академии», опубликованной в г., но не касается их общей теории.

18 марта 1758 г. Безу был назначен помощником механика в Королевской академии наук. С 18 июля 1768 г. он –младший инженер-геодезист, с 7 декабря 1779 г. – внештатный механик, наконец, с 6 мая 1782 г. – пенсионер.

     Безу – член Парижской АН (1758).

Основные работы Этьена Безу относятся к высшейалгебре,они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. Доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры. Наряду с Г.Крамером способствовал развитию теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных при решении систем уравнений высших степеней.

       Безу доказал, что любые два натуральных числа можно представить в виде линейной комбинации так, что она будет равна наибольшему общему делителюэтих чисел (соотношение Безу): если, например, а и b – натуральные числа, то найдутся такие натуральные числа х и у, что НОД (а, b) = ха + уb. Числа х и у называются коэффициентами Безу.

Например, если а = 450, b = 670, то НОД (450, 670) = 10 и 10 = 3 450 –

• 2 670 и числа 3 и -2 – коэффициенты Безу для чисел 450 и 670.

Соотношение Безу тесно связано с решением линейных диофантовых уравнений. Например, решим уравнение 450х + 670у = 3420, где с = 3420. Найдём частное решение: НОД (450, 670) = 10, d = 10, с1 = с / d = 3420 / 10 =

= 342; с1 х = 3 342 = 1026, с1 у = -2 342 = - 684. (1026, - 684) – частное решение этого уравнения. Общее решение имеет вид:

х = (1026 - n 670 / 10) == 1026 – 67n,

у = (- 684 - n 450 / 10) = - 684 – 45n, где n .

Известна теорема Безу о делении многочлена на линейный двучлен.

Умер Э. Безу 27 сентября 1783 года в Бас-Лоне (близ Фонтенбло).

Его именем названы в математике:

• Кольцо Безу

• Соотношение Безу

• Теорема Безу

• Теорема Безу (в алгебраической геометрии).

Имя учёного присвоено астероиду (17285).

Задачи Безу.

1. Доказать, что многочлен n-ой степени при делении на (х – а) даёт в остатке результат подстановки в этот многочлен вместо хчисло а (теорема Безу).

2. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил.

Дополнение

Теорема Безу. Остаток от деления полинома Pn(x) на двучлен (x-a) равен значению этого полинома при x = a. Пусть : Pn(x) – данный многочлен степени n , двучлен (x-a) - его делитель, Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен степени n-1 ) , R –остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство : Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать : Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R . Отсюда при x = a : Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R= =0+R=R . Значит , R = Pn (a) , т.е. остаток от деления полинома на (x-a) равен значению этого полинома при x=a , что и требовалось доказать .

Следствие 1 : Остаток от деления полинома Pn (x) на двучлен ax+b

равен значению этого полинома при x = -b/a , т. е. R=Pn (-b/a) .

Доказательство : Согласно правилу деления многочленов : Pn (x)=

= (ax + b)* Qn-1 (x) + R . При x= -b/a : Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2: Если число a является корнем многочлена P (x) , то этот многочлен делится на (x-a) без остатка .

Доказательство : По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на x-a равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это значит , что P (a) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P (x) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .

Следствие 3 : Если многочлен P (x) имеет попарно различные корни a1 , a2 , … , an , то он делится на произведение (x-a1) … (x-an) без остатка .

Доказательство : Проведём доказательство с помощью математической индукции почислу корней . При n=1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на (x-a1)(x-a2) … (x-ak) , где a1 , a2 , … , ak - его корни . Пусть P(x) имеет k+1 попарно различных корней.По предположению индукции a1 , a2 , ak , … , ak+1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение (x-a1) … (x-ak) , откуда выходит , что P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x). При этом ak+1 – кореньмногочлена P(x) , т. е. P(ak+1) = 0 . Значит , подставляя вместо x ak+1 , получаем верное равенство : P(ak+1) =

= (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) = 0 . Но ak+1 отлично от чисел a1 , … , ak , и потому ни одно из чисел ak+1-a1 , … , ak+1-ak не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q(ak+1) , т. е. ak+1 – корень многочлена Q(x) . А из следствия 2 выходит , что Q(x) делится на x-ak+1 без остатка . Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) , и потому P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) = =(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) . Это и означает , что P(x) делится на (x-a1) … (x-ak+1) без остатка .

Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .

Следствие 4 : Многочлен степени n имеет не более n различных корней .

Доказательство : Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен Pn(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a1 , a2 , … , an+k - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3он бы делился на произведение (x-a1) … (x-an+k) , имеющее степень n+k , что невозможно . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .

Следствие 5 : Для любого многочлена P(x) и числа a разность (P(x)-P(a)) делится без остатка на двучлен (x-a) .

Доказательство : Пусть P(x) – данный многочлен степени n , a - любое число . Многочлен Pn(x) можно представить в виде: Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+R , где Qn-1(x) – многочлен , частное при делении Pn(x) на (x-a) , R – остаток от деления Pn(x) на (x-a) . Причём по теореме Безу : R = Pn(a) , т.е. Pn(x)=

= (x-a)Qn-1(x)+Pn(a) . Отсюда Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) , а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) ) на (x-a) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 : Число a является корнем многочлена P(x) степени не ниже первой тогда и только тогда , когда P(x) делится на (x-a) без остатка .

Доказательство : Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .

1.Необходимость . Пусть a – корень многочлена P(x) , тогда по следствию 2 P(x) делится на (x-a) без остатка . Таким образом делимость P(x) на (x-a) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) , т.к. является следствием из этого .

2.Достаточность . Пусть многочлен P(x) делится без остатка на (x-a), тогда R = 0 , где R – остаток от деления P(x) на(x-a) , но по теореме Безу R = P(a) , откуда выходит , что P(a) = 0 , а это означает , что a является корнем P(x) . Таким образом делимость P(x) на (x-a) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) .

Делимость P(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P(x) , что и требовалось доказать .

Следствие 7: Многочлен , не имеющийй действительных корней, в разложении на множителилинейных множителей не содержит .

Доказательство : Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a): P(x) = (x – a)Q(x), тогда бы он делился на (x – a) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P(x) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен , не имеющий действительных корней , вразложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .

На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:

1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка : Пусть P(x) = xn , P(a) = an , тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней . По следствию 5 P(x) - P(a) =

= xn – an = (x – a)Q(x) , а это значит , что (xn–an)/(x–a)=Q(x), т.е. разность одинаковыхнатуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .

Итак (xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1.

2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка . Пусть P(x) = x2k , тогда P(a) = a2k . Разность одинаковых чётных степеней x2k - a2k равна P(x) – P(a) . P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a). По следствию 5 P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)= = (x + a)Q(x) а это значит , что x2k – a2k = (x + a)Q(x) или (x2k – a2k)/(x + a) = Q(x) ,т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать . Итак , (x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1.

3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится . Пусть P(x) = x2k+1 - a2k+1 – разность одинаковых нечётных степеней . По теореме Безу при делении x2k+1 - a2k+1 на x + a = x – (-a) остаток равен R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1 Т. к. остаток при делении не равен 0 , то разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать . 4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка . Пусть P(x) = x2л+1 , P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1 , тогда P(x) – P(-a) = x2k+1 + a2k+1 – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней . По следствию 5 P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1= (x –(- a))Q(x)= = (x + a)Q(x), а это значит , что (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x) , т.е. сумма одинаковых нечётныхнатуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать . Итак , (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k.

4. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их

оснований не делится . Пусть P(x) = x2k + a2k – сумма одинаковых чётных

степеней . По теореме Безу при делении x2k + a2k на x + a = x – (-a)

остаток равен R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k. Т. к. остаток при делении не

равен 0 , то сумма одинаковых чётных натуральных степенейна сумму их

оснований не делится, что и требовалось доказать.

Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения теоремы Безу к решению практических задач .

Пример 1. Найти остаток от деления многочлена x3 – 3x2 + 6x – 5 на двучлен x – 2 .

По теореме Безу R = P3 (2) = 23 – 322 + 62 – 5 = 3 . Ответ: R = 3 .

Пример 2. Найти остаток от деления многочлена 32x4 – 64x3 + 8x2 + 36x + 4 на двучлен 2x – 1 .

Согласно следствию 1 из теоремы Безу R=P4(1/2)=321/24–641/23 + 81/22+361/2+4= = 2

– 8 + 2 + 18 + 4 =18 . Ответ: R = 18 .

Пример 3. При каком значении a многочлен x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4 делится без остатка на двучлен x – 2 ?

По теореме Безу R = P4 (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16. Но по условию

R = 0 , значит 8a + 16 = 0 , отсюда a = -2 . Ответ: a = -2 .

Пример 4. При каких значениях a и b многочлен ax3 + bx2 – 73x + 102 делится на трёхчлен x2 – 5x + 6 без остатка ?

Разложим делитель на множители : x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) . Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты , то данный многочлен

делится на x – 2 и на x – 3 , а это значит , что по теореме Безу R1 = P3 (2) = 8a + + 4b – 146 + 102 = = 8a + 4b – 44 = 0 R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 = = 27a+ +9b -117 =0 Решим систему уравнений : 8a + 4b – 44 = 0 27a + 9b – 117 = 0 2a + +b = 11 3a + b = 13 Отсюда получаем : a = 2 , b = 7 . Ответ: a = 2 , b = 7 .

Пример 5. Составить кубический многочлен , имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2 .

Определение: Если многочлен P(x) делится без остатка на (x – a)k , но не делится на (x – a)k+1 , то говорят , что число a является корнем кратности k для P(x). По следствию 3 , если многочлен P(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2 , то он делится без остатка на (x – 4)2(x + 2) , значит P(x)/(x – 4)2(x + 2) = Q(x) , т.е. P(x) = (x – 4)2(x +2)Q(x) = = (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) = = (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) = (x3 – 6x2 + 32)Q(x). (x3 – 6x2 + 32) - кубический многочлен , но по условию P(x) – также кубический многочлен, следовательно , Q(x) – некоторое действительное число . Пусть Q(x) = 1 , тогда P(x) = x3 – 6x2 + 32 . Ответ: x3 – 6x2 + 32 .

Из рассмотренных примеров видно , что теорема Безу находит применение при решении задач , связанных с делимостью многочленов (нахождение остатка при делении многочленов , определение кратности многочленов и т.д.) , с разложением многочленов на множители , с определением кратности корней и многих других . Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений .