"Это учитель всех нас"

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (Karl Theodor Wilhelm Weierstraß), один из крупнейших немецких математиков 19-го века, "отец современного анализ", родился 31 октября 1815 г. в Остенфельде в семье мелкого чиновника. Отец Карла был образованным человеком и в молодости работал учителем. Низкая зарплата учителя заставила его сменить профессию.

          Семья была небогатой, но на образование детей средств не жалели. В детстве Карл хотел изучать музыку, но у него был плохой слух. В 1829 г. родители определили его в гимназию в городе Падерборн. Учился Карл хорошо, хотя и не выделялся из числа других учеников. Математика помогала вносить свой вклад в семейный бюджет: с 15 лет он начал вести приходно-расходные книги у одной из торговок ветчиной и маслом.

В гимназии господствовали французские порядки поощрения учеников путём воздействия на их честолюбие. Если ученик имел высшие оценки по трем предметам, то в его честь музыкальная капелла исполняла какое-нибудь музыкальное произведение, за каждую следующую высокую оценку — новую вещь. В честь Карла музыка обычно играла четыре раза, так как у него бывало шесть высших отметок, один раз даже семь: всегда по немецкому языку, математика же чередовалась с другими предметами. Только с чистописанием Карл был не в ладах.

Гимназию он закончил за пять с половиной лет вместо семи. На мемориальной доске гимназии до сих пор значится имя Вейерштрасса как одного из лучших учеников за всю историю гимназии.

В 1834 г. Вейерштрасс поступил на юридический факультет Боннского университета. Брат Карла, Петер, вспоминал, что в студенческие годы Карл был искусным фехтовальщиком, любил драться на дуэлях и всегда побеждал; он каждый вечер сидел в пивной, где слыл весельчаком; его всегда можно было встретить в фехтовальном зале.

          Юридические науки не заинтересовали его, он вскоре перестал ходить на лекции и начал самостоятельно изучать математические работы. Через 4 года после начала учёбы, не подавая заявления о допуске к экзаменам, без свидетельства об окончании университета Карл покинул Бонн и появился в родительском доме. Продолжить дальнейшее обучение не позволяло материальное положение семьи.

           Карлу посоветовали подготовиться к сдаче экзаменов на звание учителя. В 1839 г. он переехал в Мюнстер и был зачислен в Мюнстерскую академию, где слушал лекции только профессора Гудермана.

          После сдачи письменных экзаменов состоялись устные и пробные лекции в различных старших классах гимназии. После блестяще сданных экзаменов facultae docendi 25-летний Вейерштрасс получил в 1841 г. право преподавания в гимназиях.

Карл получил сначала должность помощника учителя в небольшом городке Дейч-Кроне севернее Познани, а в 1842 году должность штатного учителя в провинциальной католической прогимназии.

          В 1841 году Вейерштрасс установил: если последовательность аналитических функций, равномерно сходится внутри некоторой области (то есть в каждом замкнутом круге, принадлежащем области), то предел последовательности — тоже функция аналитическая. Здесь ключевым условием является равномерность сходимости; это понятие и строгая теория сходимости стали одним из важнейших вкладов Вейерштрасса в обоснование анализа.

Он был очень хорошим учителем. Навыки учителя в дальнейшем помогли Вейерштрассу стать лучшим преподавателем Германии, а редкое свободное время (чаще всего ночное) он использовал для математических исследований.

    В школе его нагрузка была большой - 30 уроков в неделю. Кроме математики он преподавал физику, ботанику, географию, историю, немецкий язык, чистописание и гимнастику.

После шести лет работы учителем в католической прогимназии в Дрейч-Кроне Вейерштрасс переехал в Браунсберг, где проработал в католической гимназии ещё восемь лет. Для научной работы здесь условия были лучше - была научная библиотека. Однажды ученики не дождались своего учителя, и директор гимназии был вынужден отправиться на квартиру к Вейерштрассу. Он застал Карла за письменным столом за занятиями - тот не заметил, что ночь уже кончилась и пора идти на работу.

           Напряжённая работа по ночам не прошла даром, здоровье его пошатнулось, появились головные боли. В 1850 г. он серьезно заболел. Но работать по-другому он не мог.

В 1854 г. в "Журнале по чистой и прикладной математике" появилась его статья "К теории абелевых функций". Она была признана лучшей в этой области после работ К.Якоби. Ж.Лиувиль, познакомившись с этой работой, назвал её произведением, создающим эпоху в науке.

           В 1856 году Кёнигсбергский университет сразу присуждает ему степень доктора honoris causa (почётного доктора без защиты диссертации). Дирихле присылает восторженный отзыв, благодаря которому Вейерштрасс получает звание старшего учителя и давно просимый годичный отпуск.

           Отдых он использовал для подготовки ещё одной блестящей статьи (1856). Александр фон Гумбольдт и Куммер помогли Вейерштрассу устроиться профессором сначала Промышленного Института в Берлине, а через пару месяцев — экстраординарным профессором Берлинского университета. Берлинскому университету он отдал 40 лет жизни.

       Он поселился в Берлине, когда ему был 41 год, и провёл в нём остальные

40 лет жизни, выезжая лишь на дачу или на курорт (один раз он пробыл

24 часа в Гёттингене: он говорил, что эта поездка сэкономила ему писание

десятка писем). Жил он в обществе двух сестер. Его отец провёл у него

последние годы жизни.

    Ничто человеческое не было чуждо Вейерштрассу. Так, не будучи

музыкальным (в отличие от сестер и, в особенности, от брата), он в возрасте

35—36 лет пытался изучать музыку, — по мнению сестры Элизы, без особого успеха. По-видимому, он писал стихи, во всяком случае любил их и иногда цитировал в письмах к С. Ковалевской. Иногда Вейерштрасс ездил в театр с Соней и Юлией Лермонтовой (Ковалевская жила в Берлине со своей подругой Юлией Лермонтовой).

    Ученики Вейерштрасса вспоминали, каким он был для них другом

и советчиком — по отношению к Ковалевской эти качества проявились

наивысшим образом. Учитель называл свою ученицу своим единственным настоящим другом и сам делился с нею своими раздумьями и сомнениями.

    Особенностью курсов, которые читал Вейерштрасс, было то, что они

составляли единый цикл, на котором строилось всё здание его математики,

снизу доверху, начиная от понятия о числе, кончая теорией абелевых функций, шаг за шагом, в течение нескольких семестров.

       Переутомление привело к тому, что в возрасте 35 лет он серьёзно заболел и вынужден был сократить свои занятия наукой. В 1861 году во время выступления у него начался сильный приступ головокружения и пришлось прервать лекцию. В преклонном возрасте у него развилось расширение вен, сильно болели ноги. Больше Вейерштрасс никогда не читал лекции стоя — он неизменно сидел, а один из лучших студентов писал за него на доске – это считалось большой честью. Последние годы жизни Вейерштрасс провёл в кресле на колёсах.

       Ученики Вейерштрасса в своих воспоминаниях говорят, что его внешность была импозантна: с великолепной выразительной головой, с красивыми

седыми волосами он внушал студентам уважение уже одним своим видом.

     Пуанкаре ввёл деление математиков на логиков и геометров. Вейерштрасс относится к первым. Он считал, что теория функций должна развиваться логически, не опираясь на наглядные представления. Делать выводы из рассмотрения геометрических фигур было запрещено. Сущность математического познания — в абсолютной полноте его обоснования.

Он воздавал должное гению Римана, но сам не мог применять его теории.

       Научная деятельность Вейерштрасса была очень разносторонней. В дифференциальной геометрии он исследовал геодезические линии и минимальные поверхности, в линейной алгебре указал критерий подобия матриц и рассмотрел вопрос об одновременном приведении двух билинейных и квадратичных форм к нормальному виду, указал путь строгого обоснования вариационного исчисления. Вейерштрасс получил существенные результаты в области теории функций многих комплексных переменных, известна его теорема о сходимости рядов. Он был сторонником арифметизации алгебры, т.е. исключения геометрии из всех доказательств по алгебре. Правда, позже он оставил эту идею.

Вейерштрасс никогда не пытался найти применения своим открытиям в механике. Такую работу он рекомендовал своим ученикам и сотрудникам.

         Учителем Вейерштрасс был замечательным. Благожелательный че-ловек, лишенный каких-либо предрассудков, разделяющих людей, Вейерштрасс был другом всех, кто с ним работал.

          В 1861 году Вейерштрасс был избран членом Баварской академии наук, в 1864 г. – назначен ординарным профессором, а в 1868 г. – избран членом-корреспондентом Парижской академии наук.

            В 1870 г. ученицей 55-летнего Вейерштрасса стала 20-летняя Софья Ковалевская, приехавшая в Берлин для подготовки диссертации. Женщинам был закрыт путь в университет, поэтому Вейерштрасс начал заниматься с ней индивидуально. Нежное чувство к своей Sonja Вейерштрасс пронёс сквозь всю жизнь (он так и не женился). Вейерштрасс помогает Ковалевской выбрать тему диссертации и метод подхода к решению, в дальнейшем регулярно консультирует её по сложным вопросам анализа, содействует в получении научного признания.

          После защиты диссертации Ковалевская уехала, на письма учителя отвечала редко и неохотно, за исключением ситуаций, когда ей срочно требовалась консультация.

У Вейерштрасса были прогрессивные педагогические взгляды. Он стремился показать в своих лекциях, по какому пути следует идти, чтобы достигнуть новых результатов и обосновать уже существующие. Вейерштрасс говорил: "Нужно указывать границы науки, которые ещё не перешли, и те пункты, из которых представляется возможным движение вперёд".

Шаг за шагом он строил всё здание математики, фундаментом которого служила его теория действительные чисел. Вейерштрасс первым построил строгую теорию иррациональных чисел.

          Вейерштрасс впервые ввёл определения предела и непрерывности "на языке эпсилон - дэльта", ввёл термин "абсолютное значение числа" и знак для его обозначения, первым рассматривал полный дифференциал функции как главную часть её полного приращения, линейную относительно приращения аргументов.

          В 1872 г. Вейерштрасс привёл знаменитый пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке. Этот пример опроверг бытовавшее представление о том, что можно провести касательную к непрерывной кривой почти во всех её точках, т.е. что любая непрерывная функция дифференцируема. Вейерштрасс доказал, что поле комплексных чисел — единственное коммутативное расширение поля действительных чисел без делителей нуля (1872).

В 1873 году Вейерштрасс был избран ректором Берлинского университета. В 1875 г. ему вручили один из высших знаков отличия: «За заслуги в области науки и искусств». В 1881году его избрали членом Лондонского королевского общества.

         После самоубийства мужа, Ковалевская, оставшаяся без средств с пятилетней дочерью, приезжает в 1883 году в Берлин и останавливается у Вейерштрасса. Ценой огромных усилий, используя весь свой авторитет и связи, Вейерштрассу удаётся выхлопотать ей место профессора в Стокгольмском университете.

В 1885 году 70-летие прославленного математика торжественно отмечалось в общеевропейском масштабе. Празднование прошло очень сердечно, было много статей и поздравлений. После празднований Вейерштрасс вместе с сёстрами и приёмным сыном Ференхеном отправился на лечение в Швейцарию. Отдых и лечение благоприятно сказались на его здоровье, но через год его опять начинают преследовать болезни. Он продолжал работать дома. За ним ухаживали его сёстры, которые не вышли замуж и посвятили себя заботам о старшем брате. Опекунство над приёмным сыном и издание своих трудов Вейерштрасс поручил своему другу Йоганнесу Кноблауху.

           В конце 1886 г. Парижская академия объявила конкурс на премию Бордена, которая в 1888 г. будет присуждена тому, кто усовершенствует в каком-нибудь важном пункте теорию движения твердого тела. В конкурсе решила принять участие Софья Ковалевская. Она исследовала задачу о вращении твердого тела около неподвижной точки. В декабре 1888 г. комиссия единодушно присудила премию Ковалевской. Её победа очень обрадовала Вейерштрасса.

            В феврале 1889 года Вейерштрасс сильно заболел, только лежа он не чувствовал недомогания. От усиленных занятий у него бывало "переутомление мозга". 10 февраля 1891 года в возрасте 41 года неожиданно умирает Софья Ковалевская. Вейерштрасс был так потрясён известием о кончине своей ученицы, что родные стали беспокоиться за его жизнь. Среди венков, возложенных на гроб Ковалевской, был венок из белых лилий с короткой надписью: "Соне от Вейерштрасса". Он сжигает все письма от Ковалевской (письма от него сохранились и были в начале XX века опубликованы). Состояние Вейерштрасса заметно ухудшается, он редко встаёт, занимается редактированием своего сборника трудов.

          В последние годы жизни Вейерштрасс совсем перестал ходить. В доме он пользовался коляской, изредка его вывозили в коляске на улицу. Ученики продолжали навещать его, и он беседовал с ними. Учениками Вейерштрасса были Г.Кантор, Г.Шварц, Г.Миттаг-Леффлер, Г.Фробениус, И.Фукс, Ф.Шоттки и др.

Вейерштрасс пользовался огромным уважением среди математиков. Его любили за доброту и отзывчивость, он был «генератором математических идей». По словам Ф. Клейна, у него был в научном мире «беспримерный авторитет».

К. Вейерштрасс был холост, как и его брат Петер (кроме брата у Карла были ещё две сестры, Клара и Элиза). Отец Карла, Вильгельм, последние годы жил у сына и очень гордился, что тот стал знаменитым математиком. Мать Карла умерла в 1826 году.

В 1896 году скончалась сестра Вейерштрасса Клара, с которой, как и с другой сестрой и братом, он был в большой дружбе.

        В январе 1897 года К. Вейерштрасс заболел гриппом и после осложнения (воспаление лёгких) 19 февраля скончался.

Своей славой Карл Теодор Вейерштрасс обязан исключительной тщательности рассуждений, "вейерштрассовой строгости". Он был воплощением математической скрупулёзности.

Д.Гильберт писал в "Основаниях геометрии": "В основном это заслуга научной деятельности Вейерштрасса, что теперь в анализе существуют полное согласие и уверенность относительно таких способов рассуждения, которые основаны на понятии иррационального числа и предела вообще, и ему мы обязаны тем, что существует единодушие относительно всех результатов, даже в наиболее сложных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений,- несмотря на самые дерзновенные и разнообразные сочетания при применении наложения, комбинации и перестановки пределов''.

Вейерштрасс разработал систему логического обоснования математического анализа на основе построенной им теории действительных чисел. Он систематически использовал понятия верхней и нижней граней и предельной точки числовых множеств, дал строгое доказательство основных свойств функций, непрерывных на отрезке, ввёл понятие равномерной сходимости функционального ряда. Предшественником Вейерштрасса в этих вопросах был чешский математик Б.Больцано.

Вейерштрасс доказал возможность сколь угодно точного приближения многочленами произвольной функции, непрерывной на отрезке.

Центральное место в работах Вейерштрасса занимает теория аналитических функций, в основу которой он кладёт степенные ряды. В линейной алгебре ему принадлежит построение теории элементарных делителей. Его именем названы апроксимационная теорема, признак равномерной сходимости, функция.

Будучи поглощён научной и педагогической работой, Вейерштрасс нигде не публиковал свои труды. Поэтому многие доказанные им теоремы были повторены другими математиками.

Всю свою долгую жизнь Вейерштрасс посвятил научной работе по математике. В Берлине он работал более 30 лет, так и не дождавшись публикации своих работ. Блестящие работы Вейерштрасса были впервые опубликованы в 1898 году.

Лишь через тридцать лет после смерти Вейерштрасса было закончено издание его трудов в семи томах. В первых трёх томах помещены его работы, а в остальных – обработка его лекций, настоящих педагогических шедевров.

       До Вейерштрасса оснований анализа фактически не существовало. Даже Коши, который впервые ввёл стандарты строгости, многое молчаливо подразумевал. Не было теории вещественных чисел — превосходная статья Больцано (1817) осталась незамеченной. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо определения. Отсутствовала полная теория сходимости. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

       Исследования Вейерштрасса существенно обогатили математический анализ, теорию специальных функций, вариационное исчисление, дифференциальную геометрию и линейную алгебру. В математике Вейерштрасс стремился к ясности и строгости. Пуанкаре писал о нём: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней мере оставляет ей только ту часть, которую не может у неё отнять».

       Многие из результатов Вейерштрасса теперь используются в курсе средней школы. Прав был известный математик Ш.Эрмит, сказавший о Вейерштрассе: "Это учитель всех нас".

            Всякому, кто прослушал университетский курс математики, приходят на память: теорема Больцано-Вейерштрасса, теория эллиптических функций Вейерштрасса; в вариационном исчислении — исследование достаточных условий экстремума интеграла; в дифференциальной геометрии — геодезические линии и минимальные поверхности; в линейной алгебре — теория элементарных делителей; применение рядов в теории аналитических функций (в 1841 г. 26-летний Вейерштрасс знал теорему Лорана, которую последний опубликовал в 1843 г.); теория аналитического продолжения; пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной, и т. д

        В его честь был назван кратер Weierstrass на Луне. Имя Вейерштрасса носит математический институт WIAS в Берлине.

Однажды он сказал:

• Математик, который не является также немного поэтом, никогда не будет завершённым математиком.

Рассказывают, что…

• К. Вейерштрасс обладал странным отвращением к типографской краске и не позволял печатать свои лекции - их можно было лишь переписывать от руки.

• Первые годы жизни и деятельности Вейерштрасса связаны с городами, где было сильно развито католичество. Его отец перешёл из протестантского исповедания в католическое и все дети были католиками, «хотя и без фанатизма».