У истоков современной топологии

Феликс Хаусдорф (Felix Hausdorff) родился 8 ноября 1868 г. в Бреслау (ныне Вроцлав) в еврейской купеческой семье. Его отец Луис Хаусдорф (1843—1896) был богатым торговцем текстилем и семья никогда не испытывала финансовых затруднений.В 1870 году отец перевёз семью в Лейпциг, где он был вовлечён в текстильную мануфактуру, а также опубликовал несколько трактатов и талмудических комментариев. Мать будущего математика Хедвига Тайц (1848—1903) происходила из познаньского купеческого семейства.

     Всю жизнь Феликс Хаусдорф был избавлен от забот о материальном обеспечении своей семьи и посвятил свою жизнь математике и литературе.

      Окончив Лейпцигский университет (1891), Хаусдорф защитил там диссертацию. С 1895 года он – доцент, с 1902 года – профессор Лейпцигского университета.

В 1910 – 1912 годах и в 1921 – 1935 годах – профессор Боннского университета, в 1913 – 1921 годах – профессор университета в Грейфсвальде.

          До 34-летнего возраста Хаусдорф наряду с математикой увлекался астрономией, а также литературой и философией. В этот период он (под псевдонимом Поль Монгре) издал две книги стихов и афоризмов, философский трактат «Хаос и космический выбор» (1898), сборник философских и литературных эссе, а в 1904 году – имевший шумный успех фарс «Врач его величества».

      Примерно с 1902 года, после получения профессорского звания, Хаусдорф полностью посвятил себя математике, многие области которой он обогатил принципиально новыми идеями и подходами.

      Начиная с книги «Основы теории множеств» (1914), Хаусдорф приступил к систематическому поиску путей решения труднейших парадоксов, серьезно тормозивших развитие в этой важнейшей области математики, и добился решающих сдвигов посредством введения общих понятий – частично упорядоченного множества и меры множества. В теории множеств Хаусдорф полностью решил (одновременно с П.С. Александровым и независимо от него) проблему мощности борелевых множеств, построил теорию меры (мера Xаусдорфа) в пространствах многих измерений, разработал теорию упорядоченных множеств, в частности впервые доказал лемму Цорна.

      В функциональном анализе Хаусдорфу принадлежит открывшая новые направления исследования теория абстрактных пространств, то есть множества произвольных элементов, для которых тем или иным способом установлено отношение (понятие) близости.

      Хаусдорф является основателем общей топологии и общей теории метрических пространств, которые благодаря ему, особенно его теории топологических пространств, заняли центральное место в современной математике.

      Фундаментальные результаты были получены Хаусдорфом также в математическом анализе, теории непрерывных групп, в теории чисел и других областях математической науки.

        В 1933 году, к власти в Германии пришёл Гитлер, и немецкое правительство издало Закон о государственной службе. Идея этого закона была простой: "Неарийцев – вон!" Преподаватели в Германии были государственными служащими, и идея, касаемо них, выражалась просто: "Арийских студентов должны учить арийские профессора".

       Хаусдорф надеялся, что как уважаемый профессор университета, он будет избавлен от преследования. Однако, абстрактная математика была осуждена как «еврейская и бесполезная», признана «не немецкой».

          В Гёттингене, например, национальная политика Третьего рейха устранила таких людей как Ричард Курант, Эдмунд Ландау, Эмми Нётер и Герман Вейль — и это не полный список. Многие из них принадлежали к школе Давида Гильберта, где не позволялось никаким предубеждениям: национальным, расовым или сексуальным — влиять на выбор студентов и соавторов; с энтузиазмом и настойчивостью удалось превратить Гёттинген в математический центр всего мира. Всего несколько месяцев, и от Гёттингена не осталось практически ничего. “Когда я был молод’’, — сказал Гильберт, которому тогда был 71 год, — “я решил, что я никогда не повторю то, что слышал от многих старших людей: “это были хорошие времена, не то, что сейчас’’. Я решил, что никогда не сказал бы это, если бы был старым. Но теперь нет выхода, остается только сказать это’’.

Закон от 7 апреля предусматривал, однако, некоторые исключения: не трогали тех евреев, которые считались немецкими патриотами, например, в том случае, когда они принимали участие в качестве солдат в Первой мировой войне. Тогда они могли оставаться государственными служащими.

Это был случай Хаусдорфа. Он никогда не скрывал своего еврейского происхождения. Нельзя сказать, что его труды изобилуют религиозными вопросами, нет, и у него гораздо больше страниц, посвященных восточным религиям, чем иудаизму или христианству. Его жена, Шарлотта Гольдшмидт (они поженились в 1899 году, и у них была дочь Ленор) в молодости перешла в лютеранство.

        Возможно, если бы Хаусдорфа уволили из Боннского университета, для него и его жены все было бы иначе. Но Хаусдорф считался патриотом, который в молодости, сразу после окончания учебы, служил несколько лет в качестве добровольца в немецкой пехоте. Там он дослужился до звания вице-фельдфебеля. Так что был применен закон от 7 апреля, и он оставался профессором в Бонне, пока не ушел на пенсию по возрасту в марте 1935 г.

        В 1935 году Хаусдорф был фактически изгнан нацистскими властями из Боннского университета, но и после этого продолжал активно работать, главным образом по проблемам теории групп Ли и теории множеств. В эти годы его научные статьи публиковались лишь за пределами Германии. В этот период Хаусдорф подвергался преследованиям гитлеровцев из-за своего происхождения.

      Попытки получить грант в США, дающие возможность эмигрировать и жить за рубежами Германии оказались тщетными.

      Над учёным постоянно нависала угроза быть депортированным в концентрационный лагерь для евреев. О тех муках, которым подвергались в лагерях люди, Хаусдорф знал.

            В апреле 1941 года коллега Хаусдорфа писал о нём и его жене: “У Хаусдорфов все сносно, но естественно, не удается избежать унижения и беспокойства, которые вызывает антисемитское законничество. Фискальный и монетарный сборы, налагаемые на них, настолько высоки, что они не могут жить на свою пенсию и должны были использовать свои сбережения, которые, к счастью, до сих пор сохранились. Они также были вынуждены уступить часть своего дома, и там живёт сейчас слишком много людей [...] Конечно, радует, что все ещё приходит один музыкант играть с Хаусдорфом. По крайней мере, это приносит в их дом немного радости.’’

        В октябре 1941 года Хаусдорф и его жена были вынуждены носить жёлтые звезды Давида – знак изгоя, и к концу года они получили известие, что будут депортированы в Кельн: это было началом отправки в концлагеря, которые Гитлер построил в Польше. Казалось, угроза исчезла в Новый год, но только чтобы дать место новой: в середине января сказали, что 29 января они будут размещены в пригороде Бонна — Энденихе. Это опять же был первый шаг отправки в концлагерь.

В январе 1942 года Хаусдорфу стало известно о предстоящей неминуемой депортации его семьи в концлагерь. Сохранилось письмо, которое Хаусдорф написал в воскресенье, 25 января 1942 г. В нем он писал: “Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nich’’. Эта фраза является жутким каламбур слов “Endenich’’, район Бонна, и “Ende’’ и “Nicht’’, что означает “конец’’ и “нет’’: “Несмотря на это, Эндених, может быть, ещё не конец’’. Будучи музыкантом-любителем, Хаусдорф, конечно, знал, что в Энденихе был сумасшедший дом доктора Рихарца, возможно, уже не существовавший в 1942 году. Заключенным в этом мрачном месте, композитор Роберт Шуман (1810–1856) провёл последние два года своей жизни. В самом деле плохая примета.

Таким образом, “Несмотря на это, Эндених, может быть, еще не конец’’ — каламбур. Один из наиболее полных жестокой иронии каламбуров, когда-либо написанных, потому что Хаусдорф решил покончить жизнь самоубийством: “К тому времени, когда вы получите эти строки,’’ — написано в письме от 25 января, — “ мы решим нашу проблему, хотя от этого вы неустанно пытались нас отговорить [...] То, что было сделано против евреев в последние месяцы, исполнило нас страшного горя, потому что это привело к невыносимой ситуации [...] Поблагодарите от всего сердца г-на Майера, за всё, что он сделал для нас, также и за то, что, безусловно, сделал бы. Мы искренне восхищаемся достижениями и успехами его организации и, не будь этой печали, мы помогли бы ему. Уверен, что мы бы испытывали чувство относительной безопасности, но, к сожалению, все равно это ненадежно (Хаусдорф был прав: этот человек, Майер, адвокат, умер в Освенциме) [...] Если это возможно, мы хотим, чтобы нас кремировали. Я прилагаю три заявления об этом. Если это невозможно, пусть г-н Майер или г-н Гольдшмидт сделают то, что можно (учтите, что мои жена и свояченица лютеране). Вам придется оплатить все расходы: моя жена уже оплатила расходы на свое погребение в протестантской церкви (документы найдете в ее спальне). Недостающее принесет моя дочь Нора. Простите нас за беспокойство даже после смерти. Я уверен, что она сделает то, что сможет, может быть, не так много. Простите наше дезертирство! Желаем вам и всем нашим друзьям лучшего будущего’’.

 В прощальном письме, которое Хаусдорф написал утром перед смертью, звучит лозунг Заратустры. “Умри вовремя!’’

       В ночь на воскресенье 25 января 1942 года Хаусдорф вместе с женой Шарлоттой и её сестрой Эдит приняли смертельную дозу снотворного. К утру 26 января они были мертвы. Их останки кремировали, а прах захоронили на кладбище Поппельсдорф в Бонне, Германия.

       Феликс Хаусдорф ввёл и впервые исследовал важные топологические понятия хаусдорфова пространства (1914), топологического предела, частично упорядоченного множества, а также хаусдорфовой размерности (1919). Также определил метрику Хаусдорфа (1914).

Хаусдорф внёс также большой вклад в теорию множеств, функциональный анализ, теорию топологических групп и теорию чисел.

     Перед смертью Хаусдорф написал письмо своему другу и адвокату Гансу Вольштейну, которое заканчивалось словами:

«… Простите нас и наше дезертирство! Мы желаем Вам и всем нашим друзьям испытать лучшие времена. С совершенным почтением Феликс Хаусдорф.»

      Этому пожеланию не суждено было сбыться: Ганс Вольштейн был убит в Освенциме.

В память о Хаусдорфе названы:

• Астероид,

• центр математики в Бонне (основан в 2006 году),

• научно-исследовательский институт математики в Бонне,

• международный научный центр в Грейфсвальде,

• улицы в Бонне и Лейпциге.

Имя Хаусдорфа носят следующие математические объекты:

• теорема Хаусдорфа,

• парадокс Хаусдорфа,

• хаусдорфово пространство,

• хаусдорфова топология,

• метрика Хаусдорфа,

• размерность Хаусдорфа,

• сходимость Громова – Хаусдорфа,

• проблема моментов Хаусдорфа,

• решение Бейкера – Кемпбелла – Хаусдорфа.

     В 2014 году исполнилось 100 лет со времени издания книги Феликса Хаусдорфа “Основы теории множеств’’ (Grundzüge der Mengenlehre ) на немецком языке. Помимо того что эта книга является введением в теорию множеств, она считается основополагающей в топологии.

Без сомнения, вершиной сложности является понятие хаусдорфовой размерности. Таким образом, он расширил классическое понятие размерности, что позволило более точно классифицировать объекты. Так, фракталы — весьма сложные объекты, которые в последней четверти ХХ века сделал известными и популярными Бенуа Мандельброт, — точно описываются как множества, для которых размерность Хаусдорфа не является натуральным числом.

      Хаусдорф также считается предшественником введения понятия “недостижимых кардиналов’’. Это бесконечные множества являются полной абстракцией, в их названии совершенно определенно содержится ирония. Характеристика, которая их определяет, — их необыкновенная необозримость; но их бесформенная огромность делает их настолько невероятными, что неизвестно, действительно ли они существуют. В этом и состоит ирония: быть настолько гигантскими, чтобы не было возможности увидеть их даже мысленно!

        В математике Хаусдорфа можно найти не только сложность или иронию, она также противоречит нашим ощущениям. Конечно, вершиной противоречий является описание Хаусдорфом в книге “Основы теории множеств’’ парадоксального разбиения сферической поверхности. Десять лет спустя, основываясь на этом, польские математики Банах и Тарский предложили разделить твердый шар на куски, например, на пять кусков, и получить, сложив их, два шара, такие же, как и исходный. Или иначе, взяв горошину, разделить ее на куски, чтобы сложив их должным образом получить твердый шар размером с Солнце. Это математическая версия Евангельского умножения хлебов и рыб.

       Как уже отмечалось, у Хаусдорфа были и другие интеллектуальные интересы, кроме математики. Будучи подростком, он хотел учиться музыке и стать композитором, и хотя позже он выбрал другой путь, он написал несколько пьес и был хорошим пианистом.

        Хаусдорф писал стихи, философские эссе и сатирические пьесы. Литературой он занимался в основном в 1896-1906 годы. Он находился под сильным влиянием философов Ницше и Шопенгауэра и постулировал преимущество определенной элитарной индивидуальности над справедливым обществом. В своих книгах Хаусдорф часто прерывает вдумчивые философские рассуждения размышлениями, скажем, менее возвышенными, об эгоизме, любви, страсти, о музыке Моцарта или о гипнозе. Несложно найти в его трудах влияние Фрейда. Один из его афоризмов гласит: “Когда у нас нет женщины, чтобы ее любить, мы любим человечество, науку или вечность [...] Идеализм, который всегда указывает на отсутствие чего-либо лучшего, является заменой эротики’’.

        Его пьеса для театра рассказывает историю прусского архитектора, идеалиста, который соблазнил жену государственного советника и должен был драться с ним на дуэли. Но когда настал установленный день и час, дуэль пришлось отложить из-за тревожного состояния алкогольного опьянения, в котором находились оба участника и их секунданты. В результате скандала советник теряет свою работу, но примиряется со своей женой. Пьеса была поставлена в Берлине и Гамбурге, и, по сообщениям местных источников, была встречена тепло.