Создатель односторонней двумерной поверхности с краем

Август Фердинанд Мёбиус (August Ferdinand Möbius) родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы в Шульпфорте (Германия). Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев, а потому проживал в комнатах для преподавателей с женой и ребенком. Мать Мёбиуса Иоганна Кейл Мёбиус была потомком Мартина Лютера. В семье всегда гордились этим её предком.

         Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. Биографы предполагают, что в этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Карла Брандана Моллвейде (чуть позже Август даже стал его ассистентом).

      Закончив здесь обучение, Август Мёбиус почувствовал необходимость получить дополнительные знания. А потому в 1813—1814 годах он жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции К. Ф. Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Галле (Халле), чтобы прослушать курс лекций математика И. Ф. Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по обеим наукам.

       Когда Мёбиус работал над докторской диссертацией (1815), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. А благодаря ещё одной дополнительной работе о тригонометрических уравнениях получил право преподавать в немецких университетах.

        В это время, в 1816 г., Карл Моллвейде решил полностью посвятить свое время математическим вопросам, а посему перешел на кафедру математики Лейпцигского университета, предложив пригласить преподавателем астрономии молодого Августа Мёбиуса. Ему дали звание экстраординарного профессора (несмотря на пышное название – это низшая степень, присваиваемая новичкам). На этом его карьерный рост надолго остановился. Причиной тому было полное неумение выставить себя в выгодном свете, заручиться поддержкой коллег или студентов. Он был очень спокойным и сдержанным человеком, лекции его не отличались театральностью, а потому приходило немного студентов. Все просто: чем меньше студентов, вносящих оплату за курс, тем меньше жалование и хуже отношение начальства.

         С 1816 года он также работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (близ Лейпцига). Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.

        Уже в 1816 г. Мёбиус получил приглашение стать профессором астрономии в университете Грайфсваля, в Мекленбурге, а в 1819 г. – профессором математики в университете Дерпта (современный Тарту, Эстония). Однако ему не хотелось покидать свою родную Саксонию и Лейпцигский университет, который считал наилучшим по уровню обучения.

         В 1820 году Мёбиус женится. Его избранницей становится Доротея Христина Иоганна Рат (1790-1859). Жена была слепой от рождения. У них родились два сына и дочь.

         В 1825 году Моллвейде умер. Мёбиус попытался занять его место, но его репутация преподавателя была неважной, и университет предпочёл другую кандидатуру. Однако, узнав, что Мёбиус получил приглашения из других университетов, руководство повысило его в должности до ординарного профессора астрономии. К этому времени математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире.

      В 1829 г. Август Фердинанд Мёбиус становится членом-корреспондентом Берлинской академии наук, а впоследствии и Французской академии наук.

Практически все научные работы он публикует в журнале «Journal für die reine und angewandte Mathematik», основанном немецким математиком Августом Крелем (1780-1855 гг.). Это был первый научный журнал, посвященный исключительно вопросам математики (журнал «Journal für reine und angewandte Mathematik», основанный в 1828 году, до 1855 был известен под именем «Crelles Journal», позже «Borchardts Journal», a ещё позже — «Kroneckers Journal»).

В 1840 г. он сформулировал задачу о пяти смежных границах (причём раньше, чем появилась проблема четырёх красок), которая выглядит так. «Жил король, у которого было 5 сыновей. Он приказал, чтобы после его смерти дети поделили государство так, чтобы участок каждого имел смежные границы с прочими четырьмя. Возможно ли это?» Конечно, ответ отрицательный, как и следует из решения Мёбиуса.

       Однако эта задача показывает первичный интерес учёного к такому разделу математики, как топология. Это наука изучающая явление непрерывности, как одного из свойств поверхностей и пространств. Благодаря определению свойств ленты Мёбиуса, учёного называют одним из пионеров топологии. Хотя это открытие и было совершено в 1858 г. одновременно двумя учеными: Мёбиусом и Иоганном Листингом (1808-1882 гг.), еще одним учеником Гаусса, имя лента получила в честь Августа Фердинанда.

Из других топологических достижений Мёбиуса следует упомянуть, что он ввёл понятие уникурсальной кривой, то есть графа, который можно начертить, не отрывая пера от бумаги (другое название: эйлеров граф).

               В 1848 г. его назначили директором Лейпцигской обсерватории, а место наблюдателя занял его зять д'Арре. Так что все награды и должности всё же нашли своего тихого и скромного героя. Кстати, скорее всего Мёбиус был ещё и весьма рассеянным. Немецкий историк математики Мориц Кантор упоминает, что каждый раз, выходя на улицу, учёный произносил известную мнемоническую формулу «3S und Gut», которая представляет собой перечисление вещей, которые он обязательно должен был взять с собой на прогулку: schlüssel (ключи), schirm (зонтик), sacktuch (носовой платок), geld (деньги), uhr (часы), taschenbuch (записную книжку).

        Мёбиус установил существование многогранников, не имеющих объёма. В 1858 году установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса) — простейшей неориентируемой двумерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное евклидово пространство.

    Говорят, что открытию свойств трехмерной поверхности, у которой имеется лишь одна сторона и одна граница, проще говоря, ленты Мёбиуса, помогла служанка учёного, которая то ли неправильно сшила ленту, то ли слишком тщательно обматывала горло шарфом. Биографы тут немного путаются в показаниях. Но, тем не менее, в 1858 г. Мёбиус отправил во Французскую академию наук работу, в которой показал возможность существования поверхности лишь с одной стороной. Ответа от Академии при жизни он так и не дождался, вот почему Листинг успел опубликовать своё решение раньше – в 1861 г. Работа Августа Мёбиуса увидела свет только в составе четырехтомного собрания в 1885-1887 гг., после смерти автора. Иоганн Листинг дал название науке, изучающей непрерывность — топология — в опубликованной  работе.

        Целый ряд полученных им принципиально новых геометрических результатов Мёбиус изложил в книге «Барицентрическое исчисление» (или «Расчеты центров тяжести») (1828), выдающейся по оригинальности, глубине и богатству математических идей. Он стал основоположником барицентрического исчисления — раздела геометрии, в котором изучаются алгебраические операции над точками аффинного или евклидова точечного пространств. Введённые им барицентрические (однородные) координаты нашли, в частности, применение в методе конечных элементов. Эту работу высоко оценил Карл Гаусс, назвав революционным открытием в истории математики. Гаусс считал её более значимой, чем дифференциальное исчисление или его теория сравнения чисел. В этой работе Мёбиус разработал аналитическую теорию как проективных, так и аффинных преобразований.

Мёбиус впервые ввёл однородные координаты и аналитические методы исследования в проективной геометрии. Получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, позднее названного его именем, исследовал коррелятивные преобразования (взаимно однозначные соответствия между множеством всех точек проективной плоскости и множеством всех прямых этой плоскости). Он впервые рассмотрел пространственные алгебраические кривые 3-го порядка и изучил их свойства. Мёбиус является одним из основоположников теории геометрических преобразований, топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Важные результаты получены им в теории чисел; именем Мёбиуса названы функция μ(n) (функция определена для всех натуральных чисел n и принимает значения -1;0;1 в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители) и формула обращения. Он ввёл бесконечно удаленные элементы, сформулировал правило знаков в геометрии.

           Независимо от Понселе Мёбиус пришёл к понятию о гомологичных фигурах (которые у Мёбиуса названы «коллинеарными»), причём представление этих фигур у него отличается большей общностью, чем у Понселе.

           В 1843 г. он опубликовал «Элементы небесной механики». Астрономы благодарны ему за работы о планетных затмениях, системах линз, движении небесных тел и астрономических принципах, видимо, поэтому его именем назвали астероид и кратер на обратной стороне Луны.

             В 1844 г. к Мёбиусу обратился преподаватель математики Герман Грассман с просьбой написать рецензию на его работу «Линейная теория расширения, как новая ветвь математики». Он утверждал, что результаты её перекликаются с темами, которые разрабатывал Август Фердинанд. Мёбиус не понял важности работы молодого учёного и отказался, однако уговорил того принять участие в математическом конкурсе. Когда Грассман в 1847 г. выиграл состязание, то учёному все-таки пришлось написать рецензию.

         Работы Мёбиуса в области механики относятся к статике. В 1829 году им была опубликована статья с доказательством следующей теоремы: «если четыре силы находятся в равновесии, то объём тетраэдра, построенного на двух из них, равен объёму тетраэдра, построенного на остальных двух». Им же было доказано, что всякая система сил может быть единственным образом заменена.

Август Фердинанд Мёбиус - тот, кто свернул бесконечность в кольцо.

системой шести сил, линии действия которых образуют заранее заданный тетраэдр. В 1837 году Мёбиус опубликовал двухтомное «Руководство по статике» — одну из наиболее важных монографий 1-й половины XIX века по статике, в которой были систематизированы основные результаты, полученные к тому времени. При изложении материала автор книги пользовался и геометрическим, и аналитическим методом, причём не раз приводил геометрические иллюстрации теорем, ранее доказанных аналитическим путём, «ибо при исследованиях пространственных объектов геометрическое рассмотрение является рассмотрением по существу и поэтому наиболее естественно, тогда как аналитическая трактовка, как бы она ни была изящна, скрывает предмет под чуждыми ему обозначениями, и поэтому мы его в большей или меньшей мере теряем из виду».

          Умер А-Ф. Мёбиус 26 сентября 1868 года в Лейпциге.

          В 1907 году в честь Августа Фердинанда Мёбиуса в Лейпциге были названы улица и площадь. В честь учёного назван астероид 28516 (Möbius) и кратер Мёбиус на Луне (название утверждено Международным астрономическим союзом в 1970 году).

       Имя Мёбиуса носят следующие математические объекты: лист Мёбиуса; преобразование Мёбиуса; ряд Мёбиуса; функция Мёбиуса.

• Лента Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. В отличие от бутылки Клейна, которую нельзя расположить в трехмерном пространстве, лента Мёбиуса используется в виде абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств (причем существует так называемый Мёбиус правый и Мёбиус левый), ременной передачи, а магнитофонная лента, расположенная в кассете по ленте Мёбиуса, будет проигрываться в два раза дольше.

        А несколько лет назад ленточке нашли совсем другое применение - она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - её нельзя перекрутить, как обычную - своего рода вечный двигатель.

       Такой же механизм пригодится и в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечив возвращение рулевого колеса в начальное положение в случае отсутствия обратной связи между рулём и управляемыми элементами. Такой стабилизатор можно скомпоновать прямо на валу рулевого колеса, что уменьшит нагрузки и упростит конструкцию.

• Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника!

       Лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самый яркий пример – международный символ повторного использования.

• Чем так интересна лента Мёбиуса:

• она односторонняя, поэтому покрасить её в два цвета не удастся;

• её можно получить, перекрутив край полоски на 180° и склеив обе части;

• если вести карандаш вдоль полоски, не отрывая грифель от поверхности, то через какое-то время вы вернётесь в исходную точку;

• если разрезать ленту ровно посередине полосы, то получится уже обычная двусторонняя лента, но вдвое длиннее, чем исходная;

• если отрезать лишь треть полосы, то получим пару колец, причем разного размера: одно большое, а другое – маленькое;

• если склеить перекрученную дважды полоску, а затем полученную ленту разрезать посередине полосы, то получится два соединенных кольца, причем каждое из них тоже будут перекрученными.

           Её ещё называют петля Мёбиуса, лист Мёбиуса и даже кольцо Мёбиуса.

Мёбиусу удалось свернуть бесконечность в обыкновенное кольцо.

• Есть гораздо более сложные воплощения «ленты Мёбиуса»: молекула ДНК и наша Вселенная. Еще Эйнштейн говорил, что полетевший вперед корабль может вернуться, даже если он все время будет лететь прямо. Британский философ Алан Уоттс на примере «ленты» объяснял сущность Бога: «Он охватывает Собой все и ничто не лежит вне Его. Для Бога внутреннее и внешнее — одно и то же».

      Один из памятников, посвященных удивительной ленте Мёбиуса, находится в городе Москве рядом с кинотеатром «Горизонт» недалеко от метро Фрунзенская.

• «Лента Мёбиуса» вдохновила многих людей искусства. Художник Мауриц Эшер особенно полюбил этот математический объект. Ему принадлежит знаменитых рисунков муравьёв, ползающих по листу Мебиуса и демонстрирующих его удивительное свойство. Среди его работ есть и «геометрические» литографии, созданные по тому же принципу. Множество литературных научно-фантастических произведений используют мотив «ленты Мёбиуса» («Стена Темноты» Артура Кларка, Лист Мёбиуса» А. Дж. Дейча, цикл «В глубине Великого Кристалла» Владислава Крапивина и многие другие). Серия научно-популярных книг «Библиотечка ''Квант''» даже сделала «лист» своей эмблемой. А по одной из книг был снят фильм «Мёбиус» — о запутанной линии метро, на которой исчезают поезда.

• У «Ленты Мёбиуса» есть вариации. Бутылка Клейна, как и «лента Мёбиуса» является односторонней поверхностью. В четырехмерном пространстве самопересечения не будет, но в трехмерном пространстве без него не обойтись, а значит «бутылка» не является полным аналогом «ленты». Ещё одна вариация: поверхность Кипенского. Она получается из цилиндрических полосок бумаги, склеенных последовательно друг с другом.

• Ричард Бальтцер: «Он работал не спеша, тихо, сам для себя... Без спешки, без помпезности и без высокомерия, он ждал, пока плоды его ума созреют.

Только после такого ожидания он опубликовывал свои совершенные работы…»

• С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин “топология” может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретико-множественной.