"БЫЛ ОДЕРЖИМ ДЕМОНОМ МАТЕМАТИКИ"

История теории групп начинается с середины XIX века, после опубликования работ Э. Галуа. Некоторые теоретико-групповые рассуждения встречаются уже в работах Л. Эйлера и П. Ферма, а А. Лагранж и А. Вандермонд ввели в математику первый групповой объект – подстановки, но до Галуа теория групп находилась в зачаточном состоянии. Именно публикация в 1846г. его работ стала поворотным пунктом в теории групп. В них впервые было продемонстрировано, что решение старинного, важного вопроса о разрешимости уравнений может быть сведено к исследованию нового объекта – групп.

      Впервые группы выступают не как вспомогательный инструмент рассуждения, а как основной объект исследования. Большое значение имело использование Галуа таких сложных понятий, как простая группа, нормальная подгруппа, разрешимая группа. Будучи автором этих понятий, Галуа давал витиеватые и нечёткие определения, однако его примечания к собственным же теоремам показывают, сколь глубоким было у него понимание сущности этих объектов.

     Вскоре после выхода работ Галуа началось систематическое развитие теории групп. Работы Галуа оказали неявное, но очень мощное влияние на переход от алгебры как науки об уравнениях к алгебре как науке о структурах. Методы Галуа привели последующих математиков к очень широкому взгляду на понятие закона композиции, хотя сам он не слишком глубоко развивал эти идеи.

      После того как алгебраисты английской школы в середине XIX века выделили абстрактное понятие закона композиции, тотчас была расширена сама область алгебры вследствие появления множества новых математических объектов. Д. Буль построил алгебру логики, У. Гамильтон – алгебру векторов, кватернионов и общих гиперкомплексных систем.

      Работы Галуа пусть и не содержали непосредственного указания на такое развитие алгебры, однако та свобода, с которой Галуа оперировал абстрактными понятиями группы, нормальной подгруппы и т.д., безусловно, подтолкнули его преемников пересмотреть предмет изучения алгебры. Ещё Ж.А. Серре (1819-1885) говорил, что «алгебра есть, собственно говоря, анализ уравнений». И уже после 1850г., новые алгебраические изыскания всё более и более группируются вокруг проблемы, которая сейчас считается основной в алгебре, - проблемы изучения алгебраических структур.

       Значение работ Э. Галуа было до конца осознано лишь благодаря Трактату о подстановках (Trait des substitutions, 1870) К.Жордана и последующим работам Ф.Клейна и С.Ли. Теперь объединяющий подход Галуа признан одним из самых выдающихся достижений математики 19 века.

Эварист Галуа (Évariste Galois) родился 26 октября 1811 года в Бур-ля-Рене близ Парижа. Он был вторым из трёх детей Николя-Габриеля Галуа, директора пансиона, а позже мэра этого города, и Аделаиды-Мари Демант, происходившей из семьи юристов.

У Эвариста было счастливое детство. До 12 лет его воспитывала мать, которая передала сыну солидные познания в латинском и греческом языках, уважение к морали стоиков и свой скептицизм по отношению к религии. Его отец был республиканцем. Математическое образо-вание не считалось в то время чем - то важным.

        Официальное обучение Галуа началось в 1823 г., когда он поступил в Королевский лицей Людовика Великого (лицей Луи - ле - Гран), в котором в своё время учились Робеспьер, Виктор Гюго, Шарль Эрмит и который существует и по сей день. В лицее сформировались его антироялистские взгляды, совпадавшие со взглядами большинства лицеистов. В годы учёбы Галуа стал свидетелем попытки заговора учеников, придерживающихся республиканских взглядов, против руководства колледжа из-за слухов о возможном переформировании колледжа в иезуитское училище (коим он был до этого). Такое переформирование предположительно могло упрочить позиции сторонников Людовика XVIII. Заговор был раскрыт и более ста учащихся колледжа были с позором исключены.

      Товарищи не любили Галуа за его резкий характер и не дружили с ним. Не выносили Галуа и учителя. Они знали: чтобы заставить Галуа слушать и работать под их диктовку, надо заинтересовать его, а для этого самим надо много знать, очень много читать и готовиться.

         Сначала в лицее его характеризовали как "странный и замкнутый", а потом – как "незаурядный". Но на третьем курсе лицея Галуа, недостаточно хорошо занимавшийся по классу риторики, был оставилен на второй год. Ему было тогда 15 лет.

Лишь с 16 лет Галуа начал читать серьёзные математические сочинения. В числе прочих ему попался мемуар Нильса Абеля о решении уравнений произвольной степени. По мнению преподавателей, именно математика превратила его из послушного ученика в выдающегося. Начав изучать математику, Галуа уже через два года опубликовал статью о непрерывных дробях и приступил к исследованию теории уравнений, что привело его к абстрактным алгебраическим объектам, которые он назвал группами.

                 Математическое дарование Галуа проявилось чрезвычайно рано. Интерес 16-летнего юноши к математике пробудила книга "Начала геометрии" А. Лежандра. Содержание этой книги он усвоил за два дня, хотя книга была рассчитана на два года занятий.

                В 16-18 лет он получил многие свои основные результаты, впоследствии названные его именем. Один из учителей Галуа сказал о нём: "Он был одержим демоном математики". Отмечая незаурядные способности своего воспитанника, учителя Галуа в то же время считали, что у него несколько необычные манеры, что он неуживчив, странен, излишне болтлив.

Больше всего Галуа заинтересовала работа великого Лагранжа, в которой он исследовал проблему разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Еще в 16-ом веке итальянцы Тарталья и Кардано вывели формулы для решения уравнений третьей степени, а ученик Кардано Феррари - для уравнений четвертой степени. Математики в то время не сомневались в существовании формулы для решения уравнений пятой степени, но получить её никому не удавалось, хотя многие посвятили этому всю жизнь.

      Р. Декарт прославил свое имя в математике одной блестящей идеей: надо придать наглядный смысл всем алгебраическим уравнениям и их решениям! Из этой идеи вырос координатный метод в геометрии. Евклидова плоскость и пространство подчинились числам, и курс элементарной геометрии превратился в один из разделов новой алгебры. Наилучший учебник по новой "аналитической" геометрии написал в 1794 году безработный академик Адриен Лежандр для студентов Высшей Нормальной школы.

  Дело в том, что годом раньше французские революционеры распустили Парижскую Академию Наук, как безнадежно монархическое учреждение. Но после свержения Робеспьера самые здравомыслящие из революционеров поняли, что народное просвещение отменить нельзя. Кто-то должен учить будущих учителей, и вот для них была открыта Высшая Нормальная школа. Адриен Лежандр стал одним из первых её профессоров. До рождения Эвариста Галуа оставалось 16 лет...

       Следующий рывок вперед сделал через два года молодой Карл Гаусс. Он перевел привычную технику геометрических построений на новый язык алгебраических действий с комплексными числами. Оказалось, что суть дела в комплексных корнях разных многочленов. Добраться до такого корня с помощью линейки и циркуля можно лишь в том случае, если он достижим посредством цепочки квадратных уравнений.

       В 1796 году Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида (числом Ферма); если n — составное число, то его каноническое разложение должно иметь вид , где — различные простые числа Ферма.

      Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на своей могиле правильный семнадцатиугольник, вписанный в круг.

   Достигнув этого рубежа, Гаусс остановился, не задавая следующий вопрос: какие задачи остаются неразрешимыми в рамках алгебры комплексных чисел? Например, всякое ли уравнение-многочлен разрешимо в радикалах, то есть можно ли добраться до его корней с помощью арифметических действий и извлечения корня. Или: всякая ли точка на числовой оси является корнем многочлена с целыми коэффициентами? Оба эти вопроса важны и интересны, но Гаусс уже исчерпал свой порыв в этой области, и для новых подвигов понадобились новые учёные.

     Первый из них, двадцатидвухлетний норвежец Нильс Абель, заявил о себе в 1824 году (когда Эварист Галуа был уже школьником). Абелю удалось доказать, что большинство уравнений-многочленов степени, большей 4, НЕ РАЗРЕШИМО в радикалах. Значит, итальянцы Кардано и Феррари, решив в 16 веке уравнения степеней 3 и 4, достигли предела в этой области, хотя сами не подозревали о таком чуде. 

     Следующий вопрос возник сам собою: как узнать по виду уравнения, разрешимо ли оно в радикалах? Абель начал заниматься этой проблемой, но не успел достичь цели, ибо умер от воспаления легких в 1829 году. Через год Парижская Академия Наук присудила Абелю посмертную премию за его открытия.

      В том же году Галуа вышел на передний край математической науки. Эварист особенно увлёкся работой Лагранжа, в которой исследовалась проблема разрешимости в радикалах алгебраических уравнений общего вида

а0хn+ а1хn–1+…+ аn–1х+аn=0.

Суть проблемы – выразить решения такого уравнения формулой, составленной из коэффициентов уравнения, знаков арифметических действий и радикалов. Соответствующие формулы для решения уравнений квадратных, третьей и четвертой степеней известны. Последние две были получены, как мы уже говорили, ещё в XVI веке итальянскими математиками Тарталья и Феррари, но все попытки получения формулы для решения уравнений пятой степени общего вида

а0х5+а1х4+а2х3+а3х2+ а4х+ а5=0

были безуспешными в течение более чем двух веков.

    В 16 лет Галуа совершил ту же ошибку, которую несколькими годами раньше сделал Абель: он посчитал, что решил уравнение пятой степени. 

         Галуа понял, чего ему хочется: узнать, почему уравнения высших степеней не решаются в радикалах!

       Гаусс изобрел в этой области замечательную конструкцию. Можно присоединить к полю коэффициентов многочлена его корни, и получить новое поле, расширение прежнего поля. Эту процедуру можно повторять много раз; в итоге возникает нечто вроде растущего кристалла, оси и грани которого обладают особой симметрией. И возможно, что от этой симметрии зависит разрешимость исходного уравнения!

      Такова была дерзкая догадка Галуа; она оказалась верна, поэтому автора считают гением. Но не только поэтому! Еще важнее то, что Галуа сумел довести свою гипотезу до строгой теоремы. Для этого ему пришлось создать первую математическую теорию произвольных симметрий, так называемую Теорию Групп.

       Именно Галуа ввёл в науку такие понятия, как группа и подгруппа, изоморфизм и гомоморфизм групп. Он заметил, что ядро гомомоморфизма (то есть, прообраз единицы в группе) не может быть какой угодно подгруппой. Это должна быть НОРМАЛЬНАЯ подгруппа, переходящая сама в себя при внутренних изоморфизмах группы. Только при этом условии факторизация группы по ее подгруппе порождает новую группу, иначе получается обычное множество, без алгебраических операций среди его элементов.

  Если мы хотим, чтобы все элементы большого поля F получались из элементов меньшего поля   с помощью арифметических действий и извлечения корней, то факторгруппа симметрий поля F по симметриям поля   должна не только существовать, но и быть ЦИКЛИЧЕСКОЙ. При этом группа всех симметрий поля F разложится в конечную цепочку нормальных подгрупп с циклическими факторгруппами. Таким свойством обладают группы перестановок 2, 3 или 4 символов. Поэтому все корни многочленов этих степеней выражаются через коэффициенты многочленов с помощью квадратных радикалов. Напротив, группы перестановок 5 или большего числа символов НЕ ИМЕЮТ цепочки подгрупп с циклическими факторгруппами. Оттого соответствующие уравнения не разрешимы в радикалах.

   Такова суть теории Галуа, созданной им в 19 лет. Даже в наши дни она выглядит сложно, для неподготовленного человека. Каково же было современникам Галуа, даже самым маститым академикам.  Не удивительно, что при жизни Галуа (а жить ему оставалось два года!) никто не оценил его открытия по достоинству, хотя Эварист рассылал свои тексты разным парижским математикам. 

     В марте 1829 года в Анналах Жергона появилась его первая статья о непрерывных дробях. Ему было 17 лет.  В мае 1829 года Галуа представил в Парижскую Академию свю первую работу об уравнениях, которую рецензировал Коши, но работа не появилась в печати. Распространена версия, что Коши потерял, забыл или выбросил рукопись Галуа; но больше похоже на правду, что Коши, понимая её значение, обращался с ней бережно. Действительно, из письма, обнаруженного в 1971 году в архивах Академии, явствует, что 18 января 1830 года Коши намеревался выступить на заседании Академии с изложением результатов Галуа. Коши писал: «Сегодня я должен был представить Академии отчёт о работах Галуа... Я болен и остался дома. Сожалею, что не имею возможности присутствовать на сегодняшнем заседании, и хотел бы, чтобы вы включили в расписание следующего заседания моё выступление по вышеуказанному предмету». 

Однако на следующей неделе, когда Коши выступал перед Академией со своим собственным докладом, он не представил работу Галуа. Почему так получилось — остаётся предметом догадок.

В июле 1829 года покончил жизнь самоубийством отец Галуа. Причиной послужили политические страсти, травля его иезуитами, с которой он не справился.

Дважды "провалившись" по математике на вступительных экзаменах в знаменитую Политехническую школу, Галуа в 1830г. поступил в Высшую Нормальную школу. В "провалах" на экзаменах был виноват его необузданный темперамент. Рассказывают, что, раздраженный вопросами, он бросил тряпку для стирания с доски в голову экзаменатора, что он отказался отвечать на вопрос о логарифмах, который показался ему слишком простым.

         До поступления в Нормальную школу Галуа год проучился в специальном математическом классе профессора Ришара, учениками которого были астроном Урбан Леверье и знаменитый Шарль Эрмит. Ришар вспоминал о Галуа: «Он работает только в высших областях математики ... он значительно выше своих товарищей». Однако талант Галуа не способствовал его признанию, так как его решения часто превосходили уровень понимания преподавателей, прояснению его умозаключений не способствовало также то, что он не трудился ясно излагать их на бумаге и часто опускал очевидные для него вещи.

Поступив в 1829 году в Нормальную школу, Галуа подписал обязательство прослужить после окончания школы 6 лет на государственной службе. В Нормальной школе были строгие религиозные порядки, как в монастыре. Если не исповедовался в течение двух месяцев, исключали из школы. Галуа был строптив и непослушен, но требования выполнял.

       С началом июльской революции 1830 года против Бурбонов король Карл X был свергнут, но левым не удалось добиться своего — провозгласить республику, и дело закончилось заменой короля на более либерального Луи Филиппа Орлеанского.

Эварист познакомился с лидерами республиканцев Бланки и Распайем и начал политическую агитацию в Нормальной школе. Он входил в тайное республиканское общество "Друзья народа".

     В первый год пребывания Галуа в лицее отношения между лицеистами и вновь назначенным директором школы были весьма натянутыми. Лицеисты подозревали директора в намерении отдать школу иезуитам (иезуиты возглавляли правое крыло реакции, которая пришла на смену наполеоновской эпохе). Ученики доступными им средствами выражали свой протест: отказывались петь в церкви, отвечать в классе, провозглашать тост за здоровье Людовика XVIII на школьных банкетах.

        В 1831г. Галуа был исключён из Нормальней школы по политическим мотивам – за статью против директора. После исключения из Нормальной школы Галуа лишается средств к существованию и решает читать лекции по математике. На первую лекцию по объявлению пришло 30 слушателей, на вторую-10, а на третью - только 4. Лекции были слишком сложными и непонятными.

   В противоположность традиционной легенде, Галуа вовсе не производит впечатления жертвы обстоятельств. Напротив, он, похоже, был сорвиголовой и постоянно попадал в переделки. Из письма математика Софи Жермен следует, что Галуа регулярно присутствовал на заседаниях Академии наук и обычно всячески нападал на выступающих.  Галуа переехал в парижский дом своей матери, но ей оказалось трудно с ним ужиться, и она уехала. 

      Эварист поступает в артиллерию Национальной гвардии— подразделение милиции, оплот республиканцев.

         Галуа посылает Фурье для участия в конкурсе на приз Академии мемуар о своих открытиях — но спустя несколько дней Фурье неожиданно умирает, так и не успев им заняться. В оставшихся после его смерти бумагах рукопись не была обнаружена. Приз получает Абель.

           Находясь в тюрьме за участие в антимонархической демонстрации, Галуа в июле 1831 г. получил письмо из Академии наук, в котором лежала его рукопись и записка от секретаря Академии Франсуа Араго: "Дорогой месье Галуа! Ваша рукопись была послана для ознакомления месье Пуассону. Он возвратил её нам с отзывом, который мы здесь и приводим: "Мы приложили все усилия, чтобы понять доказательства месье Галуа. Его рассуждения недостаточно ясны, недостаточно развёрнуты и не дают возможности судить, насколько они точны".

Всё же Галуа удаётся опубликовать 3 статьи с изложением основ своей теории.

За публичное выступление против королевского режима Галуа дважды подвергался тюремному заключению.

      9 мая 1831 года на банкете общества „Друзей народа “Галуа провозгласил тост за Луи - Филиппа, держа в одной руке бокал вина, а в другой нож. Его обвинили в подстрекательстве к покушению на короля и арестовали. Искреннее выступление Галуа на суде вызвало симпатии к нему судей, и он был оправдан.

       Во второй раз его арестовали 14 июля 1831 года, во время празднования дня взятия Бастилии, вместе со знакомым Дюшатле за незаконное хранение оружия и ношение формы гвардии, которая была расформирована в конце 1830 года как угроза короне, поэтому поступок Галуа был вызывающим. В тюрьме Сент-Пелаж его продержали до октября, а затем приговорили ещё к шести месяцам тюрьмы.

       Тюремное заключение сломило Галуа: он впадал то в ярость, то в уныние. Распай, который находился в тюрьме в это же время, позже вспоминал, что однажды Галуа в состоянии опьянения пытался покончить с собой. Согласно Распаю, Галуа говорил, что его преследует видение собственной кончины: «Я умру на дуэли по вине какой-нибудь кокетки низкого пошиба. Почему? Потому что она заставит меня защищать её честь, которую оскорбит другой». Когда погиб один из заключённых, Галуа, по-видимому, обвинил тюремного надзирателя в том, что тот подстроил убийство. За это Галуа посадили в карцер.

          В тюрьме он получил назад свою рукопись из Академии с предложением расширить её содержание. Последние шесть недель заключения Эварист провёл в частной лечебнице, куда его и нескольких других заключённых перевели в связи с тем, что в Париже началась эпидемия холеры. Там Галуа продолжил свои исследования. Вероятно, там же он и позна¬комился с женщиной, о которой ничего неизвестно, но которая, возможно, стала причиной дуэли Эвариста.

          Из тюрьмы Галуа освободили 29 апреля 1832 года. О последнем месяце его жизни известно, к сожалению, очень мало. 25 мая он написал письмо своему другу Шевалье, в котором намекал на несчастную любовь. По-видимому, этой женщиной была Стефания Дюмотель, дочь врача, жившего при лечебнице. Сохранились два её письма к Галуа, хотя они и вымараны (видимо, самим Галуа). В письме от 14 мая предлагалось разорвать их отношения. В другом письме говорилось, что кто-то причинил ей горе. Галуа мог почувствовать необходимость встать на её защиту. Но было ли это причиной дуэли – неизвестно.

Утром 30 мая 1832 года Галуа написал своим друзьям Лебону и Делонэ: "Меня вызвали на дуэль два патриота... Я не мог отказаться. Простите, что я не дал знать никому из вас. Противники взяли с меня честное слово, что я не предупрежу никого из патриотов.

Ваша задача очень проста: вам надо подтвердить, что я дрался против воли, т.е. после того, как были исчерпаны все средства мирно уладить дело, и что я не способен лгать даже в таком пустяке, как тот, о котором шла речь.

Не забывайте меня! Ведь судьба не дала мне прожить столько, чтобы моё имя узнала родина.

Умираю вашим другом. Э. Галуа".

      В ту же ночь Галуа написал своему другу Огюсту Шевалье: 

«Я открыл в анализе кое-что новое. Некоторые из этих открытий касаются теории уравнений, другие — функций, определяемых интегралами.

       В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения разрешаются в радикалах, что дало мне повод углубить эту теорию и описать все возможные преобразования уравнения, допустимые даже тогда, когда оно не решается в радикалах.

       Из этого можно сделать три мемуара... Обратись публично к К. Якоби и К. Гауссу и попроси их высказать своё мнение, но не о верности теорем, а об их значении.

       Я надеюсь, что после этого найдутся люди, которые сочтут для себя полезным навести порядок во всей этой неразберихе».

Его противником на дуэли был товарищ-республиканец Пеше Дэрбенвиль. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Галуа ранили в живот и бросили возле пруда, где проходила дуэль. Прохожий нашёл его и перевёз в больницу Кошэн, где он и умер на следующий день. "Не плачь,- говорил он своему брату Альфреду, который был с ним в последние минуты,- не плачь, мне нужно всё моё мужества, чтобы умереть в двадцать лет”.

На похоронах собралось более двух тысяч республиканцев, похоронили его 2 июня 1832 на кладбище Монпарнас. Ныне от могилы Галуа не осталось никаких следов. Последнее письмо Галуа кончается словами: "Прощайте! Я отдал немалую толику своей жизни для общего блага".

О. Шевалье и младший брат Эвариста Альфред позже скопировали математические статьи Галуа и послали их Гауссу и Якоби. Но ответа не последовало.

        Шевалле был едва причастен к математике; но он хранил рукописи Галуа в течение 15 лет, а затем показал их редактору нового "Журнала чистой и прикладной математики “ Жозефу Лиувиллю. Молодой академик родился за два года до Эвариста Галуа и тоже увлекался теорией чисел; он построил первые числа, не являющиеся корнями рациональных многочленов. Лиувилль с трудом разобрался в сжатом тексте своего покойного ровесника и был поражен: как могли эти чудесные находки оставаться никем не замеченными и не повторенными так долго?

Рукописи были опубликованы в 1846 г. и положили начало необыкновенно плодотворной ветви математики, названной теорией групп.

Шестьдесят написанных от руки страничек открыли миру имя учёного Галуа. С этого момента его гений начал своё стремительное шествие в науке. В 1894г. известный математик С. Ли назвал имена четырёх крупнейших математиков 19-го века: Гаусс, Коши, Абель, Галуа.

Галуа, по существу, построил всю теорию конечных полей (называемых ныне полями Галуа). В письме к другу, написанием накануне дуэли, Галуа сформулировал основные теоремы об интегралах от алгебраических функций, вновь открытые значительно позже в работах Б. Римана. Основной заслугой Галуа является формулировка комплекса идей, к которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений, начатых Ж.Л..Лагранжем, Н.Х.Абелем и др. Построенная в результате этого теория Галуа, устанавливая описание расширений полей в терминах групп, напоминающее описание симметрии многогранника, сводит вопросы, касающиеся полей, к вопросам теории групп (возникшей именно отсюда). Галуа показал, как установить, решается ли данное частное уравнение в радикалах или нет. Но полной уверенности, что учёным удалось разгадать всё то, что можно было бы назвать "теорией Галуа", у математиков нет.

"Подчинить вычисления своей воле,- писал Галуа,- сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по их внешним признакам - вот это задачи математиков будущего, так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти...".

           В 1830г. Галуа написал работу "Из теории чисел", где фактически построил теорию конечных полей. В письме, написанном своему другу накануне дуэли, Галуа, как уже было сказано, просил сообщить о сделанных им открытиях К.Якоби и К.Гауссу. Это письмо стало программой для исследований математиков всего мира.

Из-за новизны идей результаты Галуа долго не получали признания. Общим достоянием они стали лишь после выхода в 1870г. книги К.Жордана о теории подстановок, все 667 страниц которой посвящены истолкованию рукописей Галуа. Благодаря книге Жордана идеями теории групп увлеклись два молодых одаренных математика - норвежец Софус Ли и немец Феликс Клейн. Ли применил идеи Галуа в теории дифференциальных уравнений (группы Ли), Клейн - в геометрии (Эрлангенская программа).

П.Руффини (1799) и Н.Абель (1824) доказали невозможность решения в радикалах - произвольных алгебраических уравнений выше четвертой степени. Галуа не только независимо от них пришёл к этому же результату, но и нашёл необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяют уравнения данной степени, разрешимые в радикалах. При этом фактически были введены такие понятия, как группа, подгруппа, нормальный делитель, поле, расширение.

Созданная Галуа теория оказала существенное влияние на развитие не только алгебры, но и всей математики. Теория групп нашла применения во всем современном естествознании, в квантовой механике, в кристаллографии и т.д.

     Следующие 20 лет А. Кэли и К. Жордан развивали и обобщали идеи Галуа, которые совершенно преобразили облик всей математики.

      Большой вклад в развитие теории групп в России внесли Д.Граве, Н.Чеботарёв, О.Шмидт, Л.Понтрягин, А.Курош, А.Мальцев и др.

Когда Галуа умер, его знали как ярого республиканца. Современным математикам он известен как один из величайших математиков всех времён. Он был, говорил Леопольд Инфельд, и тем и другим. Эварист Галуа заслуживает, чтобы его знали и помнили все люди.

     В честь Эвариста Галуа в 1970 г. назван кратер на обратной стороне Луны.

      Имя Галуа носят следующие математические объекты: группа Галуа; поле Галуа; соответствие Галуа; теория Галуа; когомология Галуа; дифференциальная теория Галуа.

Задача Галуа

Когда Галуа было 16 лет, учитель задал учащимся на неделю три задачи. Галуа решил их за 15 минут. Вот одна из этих задач: Стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны а, в, с, d. Найти диагонали четырехугольника.

Рассказывают, что…

• Л. Инфельд сказал: «Время стерло много имен, некогда известных и могущественных. Но память о Галуа с годами лишь росла в истории математики. Там она и останется жить вечно».

• Юный Эварист Галуа, двадцати одного года, хороший математик, кроме того, известный своим пылким воображением, умер от острого перитонита, вызванного пулей, выпущенной с 25 шагов.

      * В 1870г., почти сорок лет после смерти Галуа, Камилль Жордан написал книгу «Алгебраические уравнения и теория подстановок». В предисловии говорится, что эта книга - лишь комментарий к работе Галуа. Именно этот труд привлек внимание математического мира к работам Галуа, потому что впервые открытия Галуа предстали перед читателями не в разрозненном виде, а в систематическом изложении, понятном для всех. В предисловии к своей книге Жордан пишет: «Галуа было суждено дать четкое обоснование теории разрешимости уравнений. […] Коренных идей три… идея приводимости, появившаяся уже в трудах Гаусса и Абеля, идея переходности, высказанная Коши, и, наконец, различие между простыми и сложными группами. Последней, наиболее важной из трех, мы обязаны Галуа». С момента выхода этой книги теория Галуа стала элементом математического образования и фундаментом для новых математических исследований.

      * Настоящий триумф идеи Галуа получили в наше время. Теперь уже тысячами исчисляется число работ, посвященных «группам» и «полям» Галуа, «когомологии Галуа», методам теории групп и их многочисленным применениям, в частности, к раскрытию тайн строения кристаллов и атомов.

Современное определение группы:

Группа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный.

• В работах Галуа содержалось нечто большее, чем удалось расшифровать его последователям. Галуа оставил туманную запись о связях между алгебраическими уравнениями и трансцендентными функциям и сделал таинственный намек на «теорию неоднозначности». Вполне возможно, это касалось многозначности трансцендентных функций, и, скорее всего, всё то, что хотел сказать Галуа, было впоследствии сказано Риманом. Что же касается трансцендентных функций, в 1858г. Эрмит успешно завершил одно из исследований Галуа в решении уравнений пятой степени с помощью эллиптических модулярных функций, а в 1870г. Жордан выступил с теорией групп, управляющей поведением таких функций. Однако возможно, что Галуа имел в виду нечто большее.

     * В 1906 и 1907 годах Жюль Таннери опубликовал большую часть из оставшихся посмертных рукописей Галуа. С научной точки зрения они не имели особенного значения по сравнению с теми, которые еще в 1846г. опубликовал Лиувилль.

• Что касается теории групп, то она первоначально развивается как теория конечных групп подстановок. Первое определение и первые исследования абстрактных групп были опубликованы Артуром Кэли в 1854г. Это была работа в двух частях «О группах, зависящих от символического уравнения ». В этой работе Кэли определяет группу как множество символов с заданным законом композиции, который удовлетворяет условиям ассоциативности, существования единицы и однозначной разрешимости уравнений ax=b, ya=b для любых a,b. Кэли указывает, что элементами группы могут быть подстановки, а могут быть и элементы другой природы, например, кватернионы. Закон композиции Кэли задает в виде «таблицы умножения», и до сих пор такой способ задания действия иногда называют «квадратом Кэли».

В 1859г. Кэли опубликовал третью часть своей работы, в ней он доказывает, что все группы простого порядка циклические, а также находит всевозможные группы порядка восемь. Само название «группа» взято Кэли в память Галуа.

      Дальнейшие крупные открытия в теории групп связаны с именем воспитанника и профессора Политехнической школы К. Жордана. В «Трактате» К. Жордана есть уже явное выделение нормальных подгрупп, понятие простой группы, изложение доказанной им в 1869 г. теоремы Жордана, обстоятельное исследование кратно-транзитивных групп. Впервые появляется понятие гомоморфизма (точнее, эпиморфизма) под названием l’isomorphisme mériédrique. Также Жордан ввёл фундаментальное понятие представления одной группы другой и понятие факторгруппы. Кроме того, Жордан впервые рассматривает матричные группы с элементами из конечного поля, ставшие в XX веке предметом обстоятельных исследований, и даёт богатый материал для исследования типов разрешимых групп.

      При изложении теории Галуа Жордан использует уже современный способ сопоставления уравнению не некоторого множества перестановок корней, а группы подстановок, и критерий разрешимости в радикалах у него выражается в разрешимости его группы Галуа. Наконец, к Жордану восходит и первое исследование бесконечных групп, которое несколько лет спустя было расширено в двух различных направлениях, С. Ли – с одной стороны, Ф. Клейном и А. Пуанкаре – с другой. Трактат Жордана стал на некоторое время учебником как по теории групп, так и по теории Галуа. Выход его знаменует окончание периода рождения теории групп.

      * Первым серьезным исследователем жизни и творчества Галуа был П.Дюпюи. В 1896 г. он опубликовал биографию Галуа в журнале «Annales de l’Ecole Normale Supérieure». На русском эта статья увидела свет только в 1936 г. в качестве приложения к сочинениям Галуа под редакцией Н.Г.Чеботарёва. Кроме того, в 1958 г. Вышла биография Эвариста Галуа «Избранник богов», написанная Леопольдом Инфельдом.