„МЫ ДОЛЖНЫ ЗНАТЬ – МЫ БУДЕМ ЗНАТЬ"

Давид Гильберт занимает совершенно особое место в истории науки. Хотя большая часть его жизни прошла в XX веке, он продолжает оставаться «последним могиканином» классической математики. Как и его великие предшественники К.Гаусс, А.Риман, он был учёным универсального склада мышления. В его жизни не было места для увлечений — всё своё время учёный отдавал математике.

Давид Гильберт (David Hilbert) родился 23 января 1862 года в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии (после второй мировой войны — российский посёлок Знаменск Калининградской области). В семье, кроме Давида, была ещё дочь.

Его отец, Отто, был судьёй. Возможно, что Давид унаследовал свои математические способности от матери, о которой известно лишь то, что её девичья фамилия – Эрдман. Детство Гильберта, как и большинства подростков Кёнигсберга, прошло в атмосфере преклонения перед И.Кантом. Каждый год он с матерью посещал в день рождения Канта его могилу и, несомненно, читал надпись на склепе: "Величайшие чудеса суть звёздное небо надо мной и моральный закон во мне".

Свои первые уроки он получил дома, скорее всего от своей матери. В 8 лет Давид начал ходить в приготовительную школу королевского Фридрихсколлега, где давались уроки необходимые для гуманитарной гимназии. В сентябре 1879 г. он перешёл из Фридрихсколлега в Вильгельмгимназию, в которой уделялось значительно больше внимания математике и даже затрагивались некоторые новые достижения в геометрии.

Осенью 1872г. в Кёнигсберг приехала из местечка Алексотай под Ковно и поселилась на берегу Прегели семья Минковских. А на другой стороне реки жили Гильберты. Герман Минковский и Давид Гильберт стали на всю жизнь близкими друзьями. Позже Гильберт вспоминал себя как тупого и глупого в юности. Герман же в детстве отличался впечатляющими способностями. Когда учитель не мог решить задачу, одноклассники хором просили: "Минковский, помоги!"

      Вспоминая своё детство, Гильберт - объяснял: "В школе математикой я занимался мало, так как знал, что буду этим заниматься позже". У Давида были очень плохие способности к заучиванию наизусть. В отличие от Эйнштейна, он доучился в гимназии до конца, пока не сдал Abitur (экзамен, после сдачи которого разрешается поступать в университет).

В 1880 году он окончил гимназию Вильгельма и поступил в Кёнигсбергский университет. Вопреки желанию отца, Гильберт поступил не на юридический, а на математический факультет университета. Во втором семестре он, следуя обычаю странствовать по университетам, отправился в Гейдельберг, где посещал лекции Фукса. Вернувшись в Кёнигсберг, он слушает лекции Вебера по теории чисел и теории функций и впервые знакомится с теорией инвариантов.

         В 1804 г. из Гёттингена в Кёнигсберг приехал молодой талантливый преподаватель Адольф Гурвиц, обладавший обширными знаниями. Гильберт и Минковский установили с ним, тесные отношения. Гурвиц был лидером, он затмевал остальных. Гильберт потом вспоминал: они с Минковским не верили, что когда-нибудь смогут достичь уровня Гурвица. Но у них не было причин чувствовать себя подобно Александру Македонскому, который жаловался товарищам: "Отец всё завоюет, и нам ничего не останется завоёвывать". Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем; позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

Окончив университет, Гильберт защитил в 1885 году диссертацию по теории инвариантов, научным руководителем которой был Линдеман. Став доктором философии, Гильберт в 1885 г. отправляется в научное путешествие в Лейпциг, где посещает лекции и участвует в семинаре легендарного Феликса Клейна, автора Эрлангенской программы, составившей эпоху в математике. В 1886 г. он отправляется в Париж для встречи с Анри Пуанкаре и установления полезных связей с тамошними математиками.

     Возвращаясь из Парижа, Гильберт по дороге делает остановку в Берлине и знакомится с Леопольдом Кронекером, пытавшимся арифметизировать математику. Он говорил: "Бог создал натуральные числа, всё остальное - дело рук человеческих". Агрессивный Кронекер своими нападками доводил до слёз К.Вейерштрасса, а легко возбудимого Г.Кантора довёл до психиатрической лечебницы. Гильберта же он принял очень дружелюбно. 

         В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

          С 1886г. Гильберт - доцент Кёнигсбергского университета. В последующие годы Гильберт повышался в должностях. Так как в Кёнигсберге было мало студентов-математиков, Гильбет, кроме математических собраний, посещал также и собрания естествоиспытателей. Кёнигсберг был удивительно богат близкими по духу молодыми людьми. Светская жизнь здесь была довольно бурной. Гильберт был весёлым молодым человеком с репутацией "энергичного танцора" и "обворожителя". Он неутомимо флиртовал со многими девушками. Однако его любимой партнёршей во всякого рода развлечениях была Кёте Ерош (1864—1945), дочь кёнигсбергского торговца, очень способная женщина, работавшая у него секретарём и ассистентом. Ему 30 лет, ей 28. Они были довольно похожи друг на друга. Почти одинакового роста, с большими, твёрдо очерченными ртами, крупными носами и спокойными, ясными взглядами. Голова Гильберта кажется довольно маленькой. Он отрастил бороду. Уже обозначенная лысина открывает решительно выступающий, высокий лоб учёного. Не будучи ни хорошенькой, ни некрасивой, Кёте обладала приятными чертами лица, но, казалось, мало обращала внимания на свою собственную внешность. Свои тёмные волосы она гладко зачёсывала назад с пробором посередине и закалывала сзади в виде пучка.

12 октября 1892 года Давид Гильберт и Кёте Ерош поженились. В следующем году родился их единственный сын, Франц (1893—1969), оказавшийся душевнобольным.

      К началу нового, 1893 года Гильберт дал новое доказательство трансцендентности чисел e (впервые доказанное Эрмитом) и π (доказанное Линдеманом). Его доказательство представляло значительный прогресс по сравнению с прежним и было удивительно простым и прозрачным.

Едва Гильберт освоился со своим новым положением женатого человека и ассистент-профессора с постоянным жалованием, как пришли приятные известия – его назначили на место профессора.

В 1895г. по приглашению Клейна Гильберт занял кафедру математики в Гёттингенском университете и занимал эту должность до конца жизни.

Феликс Клейн, став тайным советником, всегда настаивал на обращении к нему с этим титулом. А какое обращение к себе предпочитал Гильберт? Один из его бывших учеников сказал: "Ему было безразлично. Он был король. Он был Гильберт''.

          В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный еще Лежандру, был вновь открыт и впервые строго доказан Гауссом в возрасте 18 лет. Гаусс всю жизнь считал этот закон "жемчужиной" теории чисел и возвращался к нему несколько раз, дав ему пять различных доказательств. Гильберту удалось переформулировать квадратичный закон в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Венцом его работы в этой области была статья "О теории относительно абелевых полей". В ней он дал набросок обширной теории, получившей известность как "теория полей классов", и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось "божественным откровением" – нигде в других работах не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция.

           Классические «Основания геометрии» Гильберта (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. Хотя идея построения модели одной математической структуры на базе другой использовалась и до Гильберта (например, У. Р. Гамильтоном), только Гильберт реализовал её с исчерпывающей полнотой. Он не только дал полную аксиоматику геометрии, но также детально проанализировал эту аксиоматику, доказав (построив ряд остроумных моделей) независимость каждой из своих аксиом.

 В 1902г. в Гёттинген на должность профессора приехал Г.Минковский. Друзья возобновляют свои творческие прогулки. С этого же года Гильберт — редактор самого авторитетного математического журнала «Mathematische Annalen».

    В начале 20-го века казалось, что маленький Гёттинген целиком состоит из математиков. Лекции Гильберта собирают сотни слушателей, но он спокойно относится к такой популярности.

Гильберт читал свои лекции медленно, "без ненужных украшений" и с частыми повторениями, "чтобы быть уверенным, что все его поняли". Как правило, он повторял материал прошлой лекции, что было привычкой преподавателей гимназии, которой пренебрегали другие профессора. Его лекции производили на многих студентов большое впечатление, так как были полны "красивейшими проникновениями". К лекциям он готовился только в общих чертах, поэтому иногда не мог завершить начатое доказательство. Тогда, если и ассистент не мог помочь, лекция прерывалась. "Да, мне надо было лучше подготовиться",- говорил он и распускал слушателей. И, тем не менее, по общему мнению, в Гёттингене не было педагога, даже близко стоящего к Гильберту.

Всю жизнь Д. Гильберт говорил с неискоренимым балтийским акцентом.

Огромное значение для Гильберта имела сохранившаяся на всю жизнь дружба с Минковским и Адольфом Гурвицем. В беседах с ними, часто во время долгих прогулок, больше, чем от занятий с книгами, лекций и семинаров, сформировался Гильберт как ученый. В дальнейшем он всегда предпочитал устное слово печатному.

В 1908г. Гильберт и Минковский отметили четверть века своей дружбы. Гильберту было 46 лет, Минковскому - 44 года. А 12 января 1909г. Г.Минковский скончался от аппендицита. Горе Гильберта было безмерным.

Но жизнь продолжалась, место Минковского занял Эдмунд Ландау.

Давно прошли те дни, когда Давид Гильберт читал свои лекции по аналитическим функциям в присутствии одного лишь профессора Франклина. Теперь, чтобы послушать его лекции, в аудиторию набивалось иногда по нескольку сот человек, многие из которых могли найти себе место только на подоконнике. Ни состав, ни количество слушателей не производили впечатление на Гильберта. "Если бы сам император вошёл в зал, – говорил известный математик Гуго Штейнгауз, который приехал в это время в Гёттинген, – Гильберт бы не прореагировал."

Научная биография Гильберта резко распадается на периоды, посвящённые работе в определенной области математики. А.Н. Колмогоров выделил восемь периодов в его творчестве: I) теория инвариантов (1885- 1893); 2) теория алгебраических чисел (1893-1896); 3) основания геометрии (1898-1902); 4) принцип Дирихле и проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-1906); 5) теория интегральных уравнений (1900-1910); 6) решение проблемы Варинга в теории чисел (1908-1909); 7) основы математической физики (1910-1922); 8) логические основы математики (1922-1939).

     Гильберт был убеждённым сторонником канторовской теории множеств и защищал её от критики многочисленных противников. Он говорил: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». Сам Гильберт, впрочем, эту область не разрабатывал, хотя косвенно затрагивал в трудах по функциональному анализу.

В теории инвариантов его работы завершили период бурного развития этой области во второй половине 19-го века. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов, он доказал существование инвариантов, выше чем квадратичных, без необходимости их вычислять. Это было столь неожиданно, что основной специалист по теории инвариантов, "король теории инвариантов", как его называли, Пауль Гордан из Эрлангена, печально известный своими статьями, состоящими почти сплошь из формул (рассказывали, что у него были ассистенты, которые в его статьи вставляли лишь отдельные слова), воскликнул: "Это не математика, это теология!". Правда, позже Гордан был вынужден признать, что это – математика. Триумф Гильберта в теории инвариантов сделал ему имя в математике и обеспечил положение в Гёттингене.

Работы Гильберта по алгебраической теории чисел преобразовали эту область математики.

Его книга "Основания геометрии" стала образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. В этой книге Гильберту удалось сконструировать аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии стала совершенно прозрачной. Это позволило формулировать аксиомы наиболее простым образом, исследовать, как далеко можно развивать геометрию, если класть в её основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом. Современная работа над логическими основами математики идёт по путям, намеченным Гильбертом.

           6 августа 1900 года математики мира собрались на второй Математический конгресс в Париже. По составу он был небольшим: собрал 226 делегатов. Но парижане могли здесь увидеть весь цвет тогдашней математической науки. Тут были француз Анри Пуанкаре, швед Миттаг-Лефлер, Ж.Адамар, Г.Дарбу, Т.Леви-Чивита, М.Кантор, М. д'Окань, Г.Минковский, Г.Цейтен. Что ни фамилия, то – великая личность, внесшая огромный вклад в математику. Одним из основных докладчиков был Гильберт. В третий день работы конгресса в одной из аудиторий Сорбонны, где работала секция арифметики и алгебры, на трибуну поднялся человек среднего возраста, в позолоченном пенсне с небольшой русой бородкой. Он выбрал необычную форму доклада: сформулировал те проблемы, которые, по его мнению, должны определять развитие математики в наступающем веке. Среди выдвинутых им 23 проблемы были как конкретные задачи, так и глобальные проблемы. Так, третья проблема, решённая вскоре учеником Гильберта Максом Даном, ставила вопрос об эквивалентности понятий равновеликости и равносоставленности. Десятая проблема была посвящена вопросам разрешимости диофантовых уравнений.

Своё выступление на конгрессе 1900 года Гильберт начал словами: "Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые ещё остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждём от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным".

         После конгресса интересы Гильберта обращаются к математическому анализу. В 1910-х годах он находит совершенно неожиданный ход: функции у него оказываются точками бесконечномерного пространства (гильбертова пространства) и аналитические результаты получаются на чисто геометрическом языке. Он решает знаменитую проблему Варинга из теории чисел, проблему возможности представления любого натурального числа в виде суммы степеней чисел: четырёх квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвёртых степеней и т.д. (возможность представления числа в виде суммы четырёх квадратов к этому времени уже была доказана; элементарными средствами проблема была решена Ю. Линником в 1934г.). Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработке четырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для Общей теории относительности.

        Осенью 1910 года Венгерская академия наук объявила о присуждении Второй премии Бояи "Давиду Гильберту, который глубиной мыслей, оригинальностью методов и строгой логикой доказательств уже оказал значительное влияние на прогресс математических наук". Именно Анри Пуанкаре, как секретарю комитета по премии, пришлось приготовить общий обзор работ Гильберта для представления академии и дальнейшего опубликования. Качествами, о которых он счёл нужным специально упомянуть, были "разнообразие интересов, важность решаемых проблем, элегантность и простота методов, ясность изложения и забота об абсолютной строгости". Также он высоко ценил удобочитаемость работ Гильберта. Подробно описав достижения Гильберта, в основном остановившись на работе по основаниям

геометрии, Пуанкаре попытался найти для них место среди достижений других математиков. Так, о доказательстве теоремы Гордана он писал: "Невозможно лучше оценить прогресс, достигнутый господином Гильбертом, чем сравнить количество страниц, потраченных Горданом на своё доказательство, с теми строчками, в которые уложилось доказательство господина Гильберта". Доклад Пуанкаре о премии Бояи появился в 1911 году в "Acta Mathematica". В то время ещё никто не подозревал, что в нём подводился итог всему тому, что внёс Гильберт в конструктивную математику. На следующий год Давид Гильберт, которому уже исполнилось пятьдесят лет, стал в глазах своих коллег физиком.

          Согласно Паулю Эвальду, учителю физики Гильберта, научную программу Гильберта того времени можно было кратко выразить словами: "Мы преобразовали математику, теперь очередь за физикой, а затем мы перейдем к химии". Химия того времени была "чем-то вроде кулинарии, преподаваемой в женской школе" – именно так её описывал Гильберт.

          Несмотря на свою любовь и восхищение Гильбертом, Эвальд находил его "похожим на немного остановившегося в своем развитии подростка". В тёплые дни Гильберт являлся на лекции в рубашке с короткими рукавами и открытым воротом – наряде, совершенно не подабающем для профессора тех времён. Он носился по улицам с букетами для своих "пассий" как уличный разносчик. Корзину с удобрениями он мог везти на руле своего велосипеда так, как будто это был подарок. На концерте или в ресторане, как бы элегантно он ни был одет, почувствовав сквозняк, Гильберт мог одолжить меховую горжетку или боа из перьв у одной из присутствующих дам. Некоторым, например Эвальду, казалось, что подобные поступки объяснялись желанием шокировать граждан, более привыкших к условностям. Другие считали, что Гильберт делал это потому, что считал разумым, не беспокоясь, противоречит ли это общепринятому поведению. В любом случае, он всегда держался с таким естественным достоинством, что не вызывал ни у кого смеха.

         Несмотря на свою консервативную основу, Гильберт был всегда либерален в том отношении, что никогда не считал себя привязанным к какой-нибудь определённой политической доктрине. Музыка часто вносила мир в его споры с друзьями на политические или логические темы. Иногда казалось, что из всех видов искусства Гильберта интересует только музыка. Но всё же он увлекался литературой и, как говорил Курант, "хотел быть в курсе дела". Гильберт высоко ценил Гёте и Гомера, а в романах требовал больше действия.