„МЫ ДОЛЖНЫ ЗНАТЬ – МЫ БУДЕМ ЗНАТЬ" (Окончание)

В 1915 году Гильберт увлёкся теорией относительности и решил, что без математиков существенного прогресса не будет. Без излишней скромности он остроумно объяснял: «В сущности, физика слишком трудна для физиков». Выполненная им на предельно высоком математическом уровне работа, с точки зрения физики оказалась малосодержательной. В письме к П. Эренфесту А. Эйнштейн ехидно ответил за физиков, характеризуя работу Гильберта как «плутни сверхчеловека». В конце жизни Эйнштейн заметил: «Математика - это единственный совершенный метод водить самого себя за нос».

В начале 20-х годов физики Макс Борн, Джеймс Франк и Давид Гильберт организовали в Гёттингене «семинар по материи». Его участниками были и знаменитые учёные, и начинающая молодёжь. Почти каждый семинар Гильберт начинал вопросом: «Итак, господа, подобно вам, я хотел бы, чтобы мне сказали точно: что такое атом?»

Прошло много лет, но ответить Гильберту мы ещё не можем.

        К 1922 году у Гильберта сложился значительно более обширный план обоснования всей (или хотя бы значительного, общепринятого фрагмента) математики путём её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики. Для осуществления этой программы Гильберт разработал строгую логическую теорию доказательств, продолжая работы Фреге с помощью которой непротиворечивость математики свелась бы к доказательству непротиворечивости арифметики. При этом Гильберт использовал только общепризнанные логические средства (логику первого порядка). Его программа оказалась невыполнимой, как впоследствии установил К. Гёдель, хотя послужила значительным стимулом к развитию логики.

        Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий, как показал Курт Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции.

Считая с логической точки зрения необходимой полную формализацию математики, Гильберт в то же время верил в силу творческой математической интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом совместно с С. Кон-Фоссеном. Вместе с тем Гильберт был решительным противником попыток интуитивистов ввести ограничения на математическое творчество (например, запретить теорию множеств, аксиому выбора или даже закон исключённого третьего). Эта позиция породила в научной среде дискуссию, в ходе которой теорию доказательств Гильберта (особенно после работ Гёделя) часть математиков обвиняла в бессодержательности и называли пустой игрой с формулами.

Значительные исследования были проведены Гильбертом в теории бесконечных множеств.

          В 1930 г. Гильберт, как и полагалось немецкому профессору в 68 лет, уходит в отставку, хотя время от времени ещё читает лекции студентам. Последнюю лекцию в Гёттингене Гильберт прочитал в 1933 году. Он оставил кафедру, которую некогда занимали Гаусс и Риман. Одна из улиц Гёттингена была названа Гильбертштрассе. Из всех почестей, которыми был осыпан Гильберт в год своей отставки, по-видимому, наибольшую радость доставила ему та, что пришла из его родного города. Городской совет Кёнигсбера решил присвоить своему знаменитому сыну "почётное гражданство".

       После прихода гитлеровцев к власти в Германии Гильберт прожил до конца жизни в Гёттингене в стороне от университетских дел.  Многие его коллеги, имевшие недостаточно арийских предков или родственников, были вынуждены эмигрировать. Однажды Бернхард Руст, нацистский министр образования, спросил Гильберта: «Как теперь математика в Гёттингене, после того как она освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил: «Математика в Гёттингене? Её больше нет».

Исследование Гильберта глубоки и универсальны, но его огромное влияние на эпоху объясняется не только этим. Ведь, например, два других гёттингенца, К. Гаусс и Б. Риман, были фигурами не меньшего, чем Гильберт, масштаба, но их деятельность не вызывала особого отклика у современников, вокруг них не образовывалась «школа» преданных учеников и последователей. Склонность к уединению для Гильберта не была характерна. Он отличался жизнелюбием, искал общения с людьми, получал наслаждение, обмениваясь мыслями с другими. Своих учеников Гильберт учил так же, как некогда сам учился у Гурвица, - совершая с ними дальние прогулки по лесам, окружающим Гёттинген, или в дождливые дни, подобно «перипатетикам», разгуливал с ними по дорожкам своего крытого сада.

Прежде чем произнести в присутствии Гильберта ложь или пустую фразу, следовало хорошо подумать: его прямота была небезопасна.

Главным событием математической недели в Гёттингене в двадцатых годах было регулярное заседание Математического клуба. Доклады самого Гильберта в Математическом клубе всё ещё служили высоким образцом простоты и лёгкости. Его главным правилом для докладчика было: "только изюминки из кекса". Если вычисления были сложными, он мог прервать докладчика словами: "Мы здесь не для того, чтобы проверять правильность выбранного знака". Если объяснение казалось Гильберту слишком очевидным, то он мог сделать замечание докладчику: "Мы не в tertia" (tertia – уровень гимназии, рассчитанный на учащихся от 12 до 14 лет). Грубость, с которой он мог обрушиться на того, кто не соответствовал его стандартам, была хорошо известна. Поэтому ряд важных математиков Европы и Америки опасались прочесть доклад в Математическом клубе Гёттингена.

Гильберт отличался необычайным трудолюбием и любил приводить слова Лихтенберга: «Гений - это трудолюбие». Гильберт обладал великой силой убеждения. К старости его внешность производила большее впечатление, чем в молодости.

Стиль Гильберта не имел ничего общего с лаконизмом большинства современных ему математиков, исходящих из предположения, что труд печатника и бумага стоят дорого, а усилия и время читателя - нет.

Речь Гильберта была удивительно плавной, без запинок, как у Минковского, и не монотонной. Он без труда находил точные слова и любил по нескольку раз повторять короткие ключевые фразы, чтобы подчеркнуть их значимость.

Для Гильберта характерна уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математики и естествознания. Собрание его сочинений кончается фразой: "Мы должны знать — мы будем знать".

          В физике Гильберт был сторонником строгого аксиоматического подхода, и считал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделать эту процедуру с физикой. Наиболее известным вкладом Гильберта в физику является вывод уравнений Эйнштейна — основных уравнений общей теории относительности, проведённый им в ноябре 1915 года практически одновременно с Эйнштейном. Фактически Гильберт первым получил правильные уравнения поля общей теории относительности, хотя опубликовал их позже. Кроме того, неоспоримо существенное влияние Гильберта на Эйнштейна в период их параллельной работы над выводом этих уравнений (оба находились в этот период в интенсивной переписке). Независимо от вопроса о приоритете, Гильберт первым использовал при выводе этих уравнений вариационный метод, ставший впоследствии одним из основных в теоретической физике. Очевидно, это был первый в истории физики случай, когда неизвестные до этого уравнения фундаментальной теории были получены таким путём.

       Представляет интерес также следующий случай: в 1926 году после создания матричной квантовой механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг решили проконсультроваться у Гильберта, существует ли область математики, в которой применялся бы подобный формализм. Гильберт ответил им, что с похожими матрицами он встречался, когда разбирал вопросы существования решений дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Физикам показалось, что математик их не понял, и они решили не изучать далее этот вопрос. Менее чем через полгода Эрвин Шрёдингер создал волновую квантовую механику, основное уравнение которой — уравнение Шрёдингера, является уравнением второго порядка в частных производных, и доказал эквивалентность обоих подходов: старого матричного и нового волнового.

           Только всемирная слава А.Пуанкаре не позволяла Гильберту занять первое место среди математиков начала 20-го века.

         Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, Герман Вейль, Джон фон Нейман, Рихард Курант, Гуго Штейнгауз, шахматный чемпион Эммануил Ласкер и другие. Намного больше круг учёных, которые считали себя его учениками, в их числе, например, Эмми Нётер и Алонзо Чёрч.

Гильберту были присуждены премии имени Штейнера (1900), Н.Лобачевского (1904), Я.Больяи (1910).

Сам себя Гильберт считал тугодумом. С годами он стал соображать ещё медленнее, но ум его оставался острым, как бритва. Хельмут Хассе вспоминал, что 70-летний Гильберт, слушая его изложение одной из работ, сказал: "Но это же необычайно красиво, кто это создал?" Пришлось рассказывать ему, что этот результат получен самим Гильбертом.

Последние годы жизни Гильберта были временем трагического одиночества: чистка германских университетов коснулась практически всех его учеников. Многие оказались в концлагерях, некоторые покинули родину. По состоянию здоровья Гильберт не мог вынести долгого путешествия и почти безвыездно жил на своей вилле вместе с женой и немногими близкими. Осенью 1925г. было определено, что Гильберт страдал злокачественной анемией. Со слезами на глазах он наблюдал разрушение культуры. Работу он не прекращал ни на день. Он даже умер в рабочем кабинете 14 февраля 1943 года. За его гробом шло всего около десятка человек. Похоронен на городском кладбище Гёттингена.

Существуют гильбертово пространство, неравенство Гильберта, преобразование Гильберта, инвариантный интеграл Гильберта, теорема

не приводимости Гильберта, теорема Гильберта о базисе, аксиома Гильберта, подгруппа Гильберта, поле классов Гильберта.

      "Как некий математический Александр Македонский, - сказала о нём К.Рид,- он оставил своё имя ярко запечатлённым на карте математики".

На надгробной плите, установленной на могиле Д.Гильберта в Гёттингене афоризм, который он очень любил:

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

        Современники вспоминают Гильберта как человека жизнерадостного, чрезвычайно общительного и доброжелательного, отмечают его исключительное трудолюбие и научный энтузиазм. Его исследования оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его работа в Гёттингенском университете в значительной мере способствовала тому, что Гёттинген являлся в это время одним из основных мировых центров математической мысли.

         Герман Вейль так оценил роль Давида Гильберта в математике:

«Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним… Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе.»

Однажды он сказал:

• Арифметические знаки - это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры - это нарисованные формулы.

• Единый характер математики обусловлен внутренним существом этой науки; ведь математика - основа всего точного естествознания.

• Стремление к строгости... приводит к отысканию простейших доказательств.

• История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону, как бесплодные, чтобы - заменить их новыми.

• У каждого человека, - сказал на одной из лекций Д. Гильберт, - есть свой кругозор. Когда он сужается и превращается в точку, человек говорит, что это его точка зрения.

• Математики и техники живут в полнейшем согласии и будут жить так и впредь, потому между ними нет ничего общего.

• В сущности, теоретическая физика слишком трудна для физиков.

• Главное – это из множества проблем выбрать наиболее простые, решение которых позволит выработать допускающие обобщения концепции.

• Каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону, как бесплодные, чтобы заменить их новыми.

• Значимость научного труда измеряется количеством более ранних публикаций, которые теперь уже не нужно читать.

• Математика никогда не имела, не имеет и не будет иметь никаких приложений.

• Математика – всего лишь игра в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями.

Рассказывают, что ...

• Однажды Д. Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.

• Ах, этот - то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом, для математики у него было слишком мало воображения.

• Ещё в начале двадцатого века многие мужчины - учёные отрицательно относились к женщинам в науке. Когда профессором математики Гёттингенского университета была избрана знаменитая Эмми Нётер, её коллеги стали решительно протестовать против её участия в заседаниях учёного совета. На это Д. Гильберт сказал:

• Разве учёный совет – мужская баня, что туда нельзя допускать женщин.

• Н. Винер, вспоминая своё пребывание в 1914 г. в Гёттингене, писал, что его учителями там были Эдмунд Ландау и Давид Гильберт.

В те годы существовало творческое содружество математиков Г.Х. Харди и Дж.И.Литлвуда. Оригинальность замыслов и ясность мысли шла от Харди, а непреклонное упорство и неустанная энергия - от Литлвуда. Литлвуд был менее заметен, чем Харди. Однажды Литлвуд приехал в Гёттинген к Э.Ландау. Увидев его, этот «баловень судьбы и математики» со свойственной ему непосредственностью воскликнул: «Так, значит, Вы на самом деле существуете! А я - то думал, что это псевдоним, которым Харди подписывает свои работы, когда считает, что они недостаточно хороши для него».

Ландау родился в богатой семье, где многие поколения мужчин занимались банковским делом. «В детстве, - писал Н. Винер, - он тоже был чем - то вроде вундеркинда. Его воспитывали в обстановке изысканной роскоши, и он с раннего возраста привык пользоваться всеми благами жизни, которые можно получить за деньги.

Этот миниатюрный человек с совершенно недисциплинированным умом и внешностью херувима - маленькие стоящие торчком усики не нарушали общего впечатления - всегда казался чуточку не на месте в этом грубом мире. Если кто - нибудь спрашивал, как отыскать в Гёттингене его дом, он совершенно спокойно говорил: «Нет ничего проще. Это самый красивый дом в городе».

Второй мой учитель, Гильберт, был человеком совсем другого склада. Спокойный, похожий на крестьянина, уроженец Восточной Пруссии, он отличался неподдельной скромностью, хотя хорошо сознавал свои силы. Про сына, не обладавшего выдающимися математическими способностями, он любил говорить: «Математические способности сын унаследовал от матери, всё остальное от меня».

Гильберт брался за решение сложнейших проблем во всех областях современной математики, и каждый раз добивался блистательных успехов. Он как будто олицетворял собой лучшие традиции великих гениев прошлого. В моих глазах он был как раз таким учёным, которым я хотел бы стать сам: необычайно острое абстрактное мышление сочеталось у него с поразительным умением не отрываться от конкретного физического смысла проблемы».

•  Будучи председателем комиссии по присуждению большой между -народной премии за доказательство великой теоремы Ферма (к концу первой мировой войны премия была аннулирована), Д. Гильберт однажды загадочно заметил: «К счастью, кажется, кроме меня, у нас нет математика, которому была бы под силу эта задача, я же никогда не решусь зарезать курицу, которая несёт нам золотые яйца».
  

П. Ферма мог позволить себе не опубликовать доказательство (если он его знал): в 17-ом веке было принято публиковать результаты без доказательств. Но Гильберт ...

• А. Иоффе, вспоминая об «отце теоретической физики» Г А. Лоренце, писал: «Впервые я встретил его в 1913 г. в Гёттингене, где происходила конференция по кинетической теории газов. Лоренц изложил там развитие этой теории. Знаменитый гёттингенский математик Гильберт разработал к этому времени новый математический метод решения задач кинетической теории газов. Любопытно, что когда Зоммерфельд предложил ему доложить о своей работе, Гильберт, успев забыть её, выбежал из аудитории и предоставил Зоммерфельду рассказывать её содержание».

• Однажды в присутствии Д.Гильберта зашёл разговор о суде над Галилеем. Кто-то упрекнул Галилея за недостаточную твёрдость в отстаивании своих убеждений. Гильберт гневно возразил: «Но он не был идиотом! Только идиот может считать, что научная истина нуждается в мученичестве; оно, возможно, необходимо в религии, но научные результаты в своё время сами доказывают, свою истинность».

• Гильберт однажды сказал, что если собрать вместе десять самых умных людей и попросить их придумать самую глупую вещь на свете, то им не удастся придумать ничего более тупого, чем астрология.

         * О рассеянности Гильберта ходили легенды. Один из его студентов приводил такой пример: как-то супруги Гильберт ждали гостей к ужину. Увидев галстук мужа, госпожа Гильберт попросила его надеть другой, менее отвратительный. Гильберт послушно пошёл в свою комнату менять галстук. И вот уже и гости пришли, но Гильберт всё не появлялся. Вскоре его обнаружили спящим в спальне. Сняв галстук, он совершил привычную последовательность действий, которая оканчивалась надеванием пижамы и кроватью.

          * В 20-х годах прошлого века один из самых блестящих студентов Гильберта написал статью, в которой пытался доказать гипотезу Римана - давний вызов математикам, озабоченным одним важным аспектом теории чисел. Студент показал работу Гильберту, который изучил её внимательно и был искренне впечатлён глубиной доводов, но, к несчастью, обнаружил там ошибку, которую даже он сам не мог устранить. Год спустя студент умер. Гильберт попросил у убитых горем родителей разрешения произнести надгробную речь. В то время как родные и близкие под проливным дождем рыдали у могилы юноши, Гильберт начал свою речь:

• Какая трагедия, - сказал он, - что столь даровитый молодой человек погиб прежде, чем представилась возможность доказать, на что он способен. Но, - продолжил Гильберт, - хотя в его доказательство римановской гипотезы и вкралась ошибка, возможно, к решению знаменитой задачи придут тем же путём, каким к нему двигался покойный. Действительно, - продолжил он с оживлением, - рассмотрим функцию комплексной переменной...

Известные математики о Гильберте:

• Макс фон Лауэ : "В моих воспоминаниях этот человек остался таким гением, равного которому я никогда не видел".

• Петр Новиков: "Идеи Гильберта были переломным моментом в вопросах основ математики и началом нового этапа в развитии аксиоматического метода".

• Норберт Винер : "Гильберт бы воплощал в себе лучшие традиции великих гениев прошлого ... Необычайно острое абстрактное мышление сочеталось у него с поразительным умением не отвлекаться от конкретного физического содержания проблемы".

• Герман Вейль : "Мы, математики, часто оцениваем свои успехи по мерке того, какие из гильбертовых проблем удалось ещё решить"

• Жан Дьедонне: "Возможно, Гильберт глубоко влиял на математический мир не столько своими гениальными открытиями, как строением своего ума, он научил математиков мыслить аксиоматически, т.е. стремиться каждую теорему свести к строжайшей логической схемы ... Со своей интеллектуальной, всё более требовательной честностью, в страстной потребности понять, в неутомимом стремлении к всё более единой, всё более чистой, лишённой лишнего науки, Гильберт поистине воплощал идеал математика для поколения "между двумя войнами" ".

• Рихард Курант: "Д. Гильберт был одним из поистине великих математиков своего времени. Его труды и вдохновленная личность, как учёного, оказали глубокое влияние на развитие математических наук вплоть до настоящего времени.

Проницательная гильбертова интуиция, творческое могущество и неповторимая оригинальность мышления, широта и разнообразие интересов сделали его первооткрывателем во многих разделах математики. Он представлял собой уникальную личность, глубоко погружённую в собственную работу и полностью преданную науке, это был учитель и руководитель высшего класса, который умел вдохновлять и поддерживать, не знал усталости и был настойчив во всех своих порывах "

• Впечатления Ю.Б. Румера, отно¬сящиеся к 20-ым годам двадцатого века: “В это время там жил один из крупнейших математи¬ков мира, всех времен и всех народов — Давид Гильберт. Давид Гильберт отличался тем, что его тугодумие не имело никаких границ. То есть он до того медленно и туго сообра¬жал, что его не пускали ни на одно заседание потому, что он начинал глупейшие вопросы задавать, которые срыва¬ли всякую работу. Ему говорили: “Вы сидите дома. Без Вас поймут, потом придут, объяснят”. По очереди ходили объяс¬нять. Но если уж он понимал, то понимал великолепно. С другой стороны были и другие примеры, совершенно про¬тивоположные. Есть такой Янчик (Джон) фон Нойман ... быстрота его соображения совершенно феноменальная. Он моментально всё соображал, причём во всех областях зна¬ний: и в математической физике, и в теоретической физике, и в астрофизике, и ещё в каких-то вопросах. Химию он пре¬красно знал. И всюду он был, как дома.”