ВЕЛИКИЙ НОРВЕЖСКИЙ МАТЕМАТИК

Нильс Хенрик Абель (Niels Henrik Abel) является одним из наиболее плодотворных математиков 19-го века. Он родился 5 августа 1802 года в Фингё (Норвегия) в семье протестантского священника, который придерживался прогрессивных для своего времени взглядов. Мать Нильса, Ан Мари Симонсен, была талантливой пианисткой и певицей, но совершенно безответственной, и позже она совершенно открыто изменяла своему мужу (поженились они в 1799 году). Оба родителя злоупотребляли алкоголем, часто были пьяны и неуравновешены. Нильс был вторым из семи сыновей. Его детство было омрачено слабым здоровьем.

Короткая и тяжёлая жизнь его проходила в крайней нужде, заслуги Абеля не были оценены, он был не понят математиками, находившимися в то время у вершин славы.

В 1815 г. отец отправил Нильса и его старшего брата Ханса Матиаса в Кафедральную школу в Осло. Лишь в первый год учёбы отец смог внести плату за учёбу Нильса и его брата, остальное время их содержала школа. Вначале в школе было не лучше, чем дома: лучшие учителя ушли из школы в только что открытый в Осло университет, дисциплина в школе была такой, что драки возникали не только среди учеников, но даже между учениками и учителями. Учитель математики так избил одного ученика, что тот умер. Учителя уволили (но не судили!), его место в 1818 году занял Б.М.Хольмбое, который хорошо знал свой предмет и познакомил Абеля с работами Эйлера. В школе Нильс изучал латынь, религию, историю, географию, греческий язык, математику и элементы физики. Занятия шли успешно. Абель отличался крайней застенчивостью. Обычно грустный и подавленный наедине с самим собой, он становился необычайно весел в обществе друзей.

Во время учёбы в кафедральной школе в Христиании (Осло) свободное время Нильс посвящал шахматам и театру. Он был очень симпатичен, все тянулись к нему, хотели с ним дружить. У него не было врагов.

Дома Абеля звали Нильс; студенты прозвали его «портняжка - Нильс» наверно потому, что он казался всегда усталым. Кто - то из профессоров назвал его однажды «вторым Евклидом», поэтому друзья его называли «Мегаро», т.е. человек из Мегары, где родился философ (не математик) Евклид.

    Через два года Нильс перестал интересоваться школьными предметами. Хорошо разбирался он только в математике. В 1818 г. Абель открыл для себя новый мир - мир науки, где ему предстояло достичь небывалых высот.

         Причиной тому был новый учитель математики в школе Хольмбое, который давал ему специальные задачи, разрешал брать свои учебники. 16-летний Абель читал труды Пуассона, Гаусса, Лагранжа, Ньютона, Даламбера. Дружба ученика и учителя сохранилась даже тогда, когда судьба сделала их соперниками.

         В 1819 году Хольмбое так писал о своём 17-летнем ученике:

«С превосходнейшим гением он сочетает ненасытный интерес и тяготение к математике, поэтому, если он будет жить, он, вероятно, станет великим математиком».

           А Ханс Матиас после многообещающего начала в Каведральной школе скатился в отстающие ученики класса, и его отослали домой. В итоге он стал слабоумным.

        В последние два года учёбы Абель начинает уже всерьёз пробовать свои силы. Со свойственной юности самонадеянностью он принялся за задачу, не поддававшуюся усилиям многих выдающихся математиков XVII и XVIII веков — за решение уравнения пятой степени. После того как в XVI веке Тарталья получил формулу для решения кубических уравнений, а Феррари — для решения уравнений четвертей степени, перед математиками встала задача: вывести формулу, выражающую корни уравнения пятой степени

a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 = 0

через коэффициенты а0, а1, а2, а3, а4, а5 с помощью арифметических действий и извлечений корней. Хотя при исследовании этой задачи были получены многие важные результаты, её окончательное решение никому не удавалось. После нескольких недель напряженной работы Абелю показалось, что задача решена— искомые формулы получены. Работу юного математика проверяли и Хольмбое, и многие профессора университета в Осло, и крупнейший из скандинавских математиков профессор Копенгагенского университета Деген. Никто из них не смог найти ошибки в его вычислениях. Но Деген дал юноше дельный совет; проверить полученные формулы на конкретных уравнениях. И тут оказалось, что ответы получаются неверными; формулы Абеля были ошибочными.

        В 1820 году отец Абеля умер, оставив семью без гроша. Семья была на грани нищеты. Ответственность за семью легла на плечи 18-летнего Нильса Хенрика. Для сестры Элизабет он нашёл другую квартиру, а младшего брата Петера взял с собой.

         В 1821г. Абель окончил кафедральную школу и поступил в университет, получив на экзамене по математике самую высокую отметку. Несколько университетских профессоров, знавших об исключительной одаренности Абеля и о его бедственном материальном положении, решились на необычный шаг: они начали выплачивать ему стипендию из своих личных средств, "дабы сохранить для науки это редкое дарование".

Абелю нравилась университетская жизнь. В университете и в городе (население Осло приближалось к 10 тыс. человек) все знали, что Абель наделён исключительными математическими способностями. Но сам он принадлежал к числу скромных гениев. Он не стремился к первенству и никогда не хвастал своими успехами.

         Небольшой стипендии, едва рассчитанной на одного, не могло хватить на двоих, на него и брата. Нильсу пришлось подрабатывать репетиторством. С этого времени и до самой смерти он был вынужден ежедневно думать о том, как заработать немного денег, чтобы не умереть с голоду и расплатиться с многочисленными долгами.

В математических познаниях Абель был самоучкой - никаких математических курсов в университете не читалось. Математику он постиг по книгам, приобретённым на скудные средства, которые ему время от времени давали сочувствующие ему профессора.

         Будучи студентом, Абель опубликовал в "Естественнонаучном журнале" несколько небольших заметок. К несчастью, они остались незамеченными, так как были написаны на норвежском языке, а этого языка не знал никто из выдающиеся математиков того времени. Одна из работ была посвящена нахождению линии, по которой материальная точка падает по заранее предписанному закону. Абель свёл решение этой задачи к уравнению, в котором искомая функция находится под знаком интеграла. Теперь такие уравнения называют интегральными.

        Никто до Абеля интегральных уравнений не решал: математики того времени интересовались дифференциальными уравнениями, то есть уравнениями, содержащими производные от искомых функций. Лишь в конце XIX века стала развиваться общая теория интегральных уравнений, и тогда поняли, что Абель на многие десятилетия предвосхитил будущие математические исследования.

          В 1823г. Абель на летние каникулы ездил в Копенгаген для знакомства с работами датских математиков и для того, чтобы сообщить Фердинанду Дегену свои результаты по эллиптическим функциям.

Там он встретил и полюбил Кристину («Крелли») Кемп. Он строит планы совместной жизни, но для этого надо было получить хорошо оплачиваемую должность: Крелли бедна, как и он сам, зарабатывает на жизнь репетиторством. В 1824 году на Рождество Нильс и Крелли отпраздновали своё обручение, Абель устроил её гувернанткой в Осло.

    После возвращения из Копенгагена Абель вновь возвращается к проблеме решения уравнений пятой степени. Но теперь он стремится доказать невозможность существования решения таких уравнений  в радикалах. И это ему удаётся: он доказал, что желаемого решения в радикалах просто не существует. Ему удалось достигнуть вершины, о покорении которой мечтали многие великие учёные.

Чтобы сделать этот результат достоянием учёных, Абель за свой счёт публикует сжатое изложение доказательства (всего 6 стр.). Каково же было его разочарование, когда ни один из математиков Европы не проявил к ней ни малейшего интереса. Даже великий Гаусс затерял эту статью в своих бумагах и её нашли уже после смерти Гаусса так и не прочитанной им.

Абель не знал, что двадцатью годами раньше итальянский математик Паоло Руффини пришёл к тем же выводам. Поэтому доказательство невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах называется теперь теоремой Руффини-Абеля.

Из написанных Абелем работ в этот период выделяются открытия, сделанные им в теории интегрирования. Его общая теорема об интегралах называется теперь теоремой Абеля.

Другая интересующая его тема - теория эллиптических функций.

Указом от 27 августа 1825 года Сенат университета командировал Абеля за границу с ежегодным содержанием 3168 франков.

Добившись стипендии, Абель отправляется в Гёттинген и Париж с целью изучать там математику. Сначала Абель поехал в Берлин, где жил с сентября 1825 года по февраль 1826 года.

Сразу же по приезде в Берлин, Абель нанёс визит Августу Леопольду Крелле. Тайный советник Крелле по профессии был инженером - строителем, он руководил многими крупными общественными работами. Свободное же время он посвящал математике. Он даже опубликовал несколько интересных работ по математике.

Абель с трудом говорил по-немецки, поэтому Крелле не сразу догадался о цели визита. Сначала ему показалось, что Абель собирается сдавать экзамены в ремесленную школу в Берлине и просит о протекции. Лишь когда Абель сказал, что хочет поговорить с ним о математике, тот понял, в чём дело. Абель опубликовал четыре статьи в издаваемом им журнале. Работы Абеля в этот период касались в основном теории эллиптических функций, которую он значительно продвинул одновременно с Карлом Густавом Якоби. Соревнование в течение нескольких лет этих двух выдающихся математиков принесло существенную пользу науке. Он публикует также расширенный вариант своей первой работы об уравнениях: любые уравнения степени выше 4-й, вообще говоря, неразрешимы в радикалах. Причём он привёл конкретные примеры неразрешимых уравнений. На эту работу опирался Галуа.

В феврале 1826 года Абель поехал в Италию и провёл несколько месяцев в Венеции. В июле переехал в Париж, где оставался до конца года. Прибыв в Париж, Абель убедился, что многие математические знаменитости уже совсем дряхлые. Особую роль в его судьбе сыграли А.М.Лежандр и О.Л.Коши. Первый считался самым большим авторитетом в теории эллиптических интегралов. Коши был самым влиятельным из математиков младшего поколения. Поглащённый своими трудами, он мало интересовался работами других.

По приезде в Париж Абель нанёс визит А.М. Лежандру, но установить с ним научный контакт не удалось. Если бы Лежандр уже тогда понял, какое значение имеют идеи Абеля для его собственных работ, он бы, конечно, отнёсся к ним с тем же восторгом, какой они вызвали у него впоследствии.

Лежандру было 74 года, но он продолжал активно заниматься наукой. Он сделал много открытий и в теории чисел, и в геометрии, и в геодезии, и в астрономии. Он предложил использовать для обработки экспериментальных данных так называемый метод наименьших квадратов. Но слава досталась К.Ф. Гауссу, который сделал это же почти одновременно с ним.

Для Абеля имело огромное значение мнение барона О.Л. Коши, который был самым влиятельным из математиков младшего поколения. Долгое время Коши каждую неделю представлял в Академию новую статью. Он был разносторонним математиком, но сейчас известен главным образом как создатель теории функций комплексного переменного и основатель точного направления в анализе.

Математики не любили Коши, считая его лицемером и эгоистом. Он мало интересовался работами других математиков. Тем не менее, Абель не раз говорил, что Коши является единственным учёным, который понимает, как следует формулировать и доказывать теоремы.

Написанный Абелем мемуар о трансцендентных функциях секретарь Парижской Академии Фурье передал для письменного отзыва Лежандру и Коши. Абель не сомневался, что эта его работа очень хорошая, и что благоприятное решение не заставит себя долго ждать. Всё написанное Абелем отличалось замечательной ясностью стиля. Но представленный мемуар был очень большим по объёму и отличался большой глубиной и общностью, Коши, очевидно, отложил работу Абеля, надеясь прочесть её на досуге, и забыл о ней (несколько лет спустя это же случилось у него и с работой Э.Галуа). Труд этот сначала затерялся, потом его отыскали и—уже посмертно—отметили Большой премией Парижской Академии.

Подобно тому, как это было с уравнением выше четвертой степени, Абель доказал невозможность интегрирования многих функций при помощи элементарных функций. Эти исследования привели Абеля к открытию эллиптических и гиперэллиптических функций. Интегралы этих функций являются частным случаем так называемых абелевых интегралов. Эти интегралы нашли широкое применение в современной теоретической физике

            В теории рядов известна теорема Абеля о равномерной сходимости ряда.

            Абель тщательно исследовал тему сходимости рядов, причём на высшем уровне строгости. Его критерии строгости были более жёсткими, чем даже у Коши. Он, например, доказывал, что сумма степенного ряда внутри круга сходимости непрерывна, в то время как Гаусс и Коши считали этот факт самоочевидным. Коши, правда, опубликовал (1821) доказательство даже более общей теоремы: «Сумма любого сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна», однако Абель в 1826 году привёл контрпример, показывающий, что эта теорема неверна (Коши не располагал понятием равномерной сходимости). К доказательствам Абеля чаще всего невозможно придраться и современному математику.

         Один математик вспоминал о парижском периоде жизни Абеля: "Абель одинаково хорошо говорил на французском, немецком, датском и норвежском языках. Он был немного выше среднего роста, на его худощавом, болезненном лице лежала печать утомления и тревоги. Держался он с необычайной скромностью и легко терялся, проявляя удивительную мягкость характера. Судя по простоте, с которой он одевался, по тому, что он позволял покупать себе какую-нибудь еду не более одного раза в день и довольствовался весьма бедной квартирой на улице Сент - Марчерит, он располагал очень скудными средствами. Однажды Абель встретил какого - то человека, который показал ему следы побоев на своём теле и посоветовал остерегаться грабителей. "Мне нечего бояться. Что могут отнять у меня грабители? " - с улыбкой ответил ему Абель. Он в самом деле походил на того мудреца, все сокровища которого хранились в голове. Если говорить о таком богатстве, Абель действительно владел несметным состоянием".

О внешности Абеля сохранилось мало сведений. Сохранился маленький его портрет, да два его паспорта, в которых указаны его приметы. К сожалению, они сходятся между собой лишь в одном пункте, что Абель умел читать и писать.

В одном отчёте написано, что он - блондин, среднего роста, кажется бледным и измождённым. В университетские годы Абель не отличался аккуратностью в одежде, причём, скорее от безразличия, чем от бедности.

Абель не стремился к первенству и никогда не хвастался своими успехами. У него было доброе сердце. Люди, с которыми он встречался, обычно питали к нему самые добрые чувства, становились, как правило, его друзьями.

Во время научной командировки Абель посетил города: Дрезден, Прага, Вена, Грац, Триест, Венеция, Падуя, Верона, Ботцен, Париж, Брюссель, Берлин. В письме Хольмбое из Парижа он писал: «Я открыл столько замечательных теорем, что просто не верится».

К концу 1826 года у Абеля кончились деньги, он вынужден был есть только один раз в день. Он вынужден был покинуть Париж и отправиться в Берлин. Домой он не мог вернуться ещё полгода, по условиям командировки, кошелёк же был пуст. Но чем меньше оставалось у него денег, тем больше сил он отдавал научной работе. В марте 1827 г. Абель закончил ещё один большой мемуар, начатый в Париже.

А Крелли, тем временем, вернулась в Копенгаген, редко писала ему. В 1827 году их планы на женитьбу возродились: Нильсу удалось найти для неё работу в Норвегии.

Во время напряжённых занятий математикой Абель часто механически писал рядом с формулами разную чепуху, бессмысленные слова, а иногда и предложения.

Крель пытался удержать Абеля в Берлине, но он всеми силами души стремился домой. 20 мая 1827 г. Абель на пароходе вернулся в Осло. Все обратили внимание на то, что за границу уезжал неуклюжий студент, а вернулся зрелый учёный в элегантном костюме и прекрасно умеющий держать себя в обществе.

Когда Нильс находился в командировке, в университете в Христании в отставку ушёл профессор Размуссен, добрый гений Абеля. На освободившееся место претендовал Абель и его школьный учитель Бернт Микель Хольмбое. Сенат выбрал, Хольмбое. Надежды Нильса улучшить своё бедственное материальное положение не осуществились.

Дома его ждала всё та же нищета. Не было перспектив с работой, Абель изнемогал под бременем долгов. Только лишь в 1828 году он получил должность доцента в университете и инженерной школе в Осло.

В письме Ф.В. Бесселю в Кёнигсберг (1827) К.Ф.Гаусс писал: «Как я теперь вижу, господин Абель предвосхитил многие мои мысли и примерно на треть облегчил мою задачу, изложив результаты с большой строгостью и изяществом. Абель шёл тем же путём, какой избрал и я в 1798 году, поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получили столь похожие результаты».

Всю осень 1827 г. Абель был вынужден заниматься улаживанием различных денежных затруднений. Полученный в университете аванс в 100 талеров он употребил на то, чтобы расплатиться с самыми срочными долгами. Репетиторство давало лишь небольшой заработок.

Прошёл уже год с тех пор, как Абель представил французской Академии наук свой мемуар, но до сих пор судьба его оставалась совершенно неизвестной. Но торопить Коши он не решался.

Единственным прижизненным признанием заслуг Абеля было избрание его в Королевское научное общество Норвегии.

Продолжая научную деятельность, Абель в это время создаёт важную теорию, которая с момента возникновения и до сих пор называется теорией абелевых уравнений.

В сентябре 1827 г. вышел второй том "Журнала Креля", в котором были опубликованы первые 80 страниц работы Абеля "Исследования". Многие выдающиеся математики ждали выхода следующего номера журнала, рассчитывая найти там продолжение этой работы. Будучи совершенно оторванным от научной жизни, Абель в Осло даже не подозревал, что с выходом этого журнала он сразу стал одним из крупнейших учёных.

Абеля очень расстроила появившаяся в это же время статья К. Якоби об эллиптических функциях, в которой тот использовал метод из статьи Абеля, не сославшись при этом на автора этого метода. Несколько успокаивало его лишь то, что Якоби был восхищён работами Абеля.

         В марте 1828 года профессор Ханстин, руководивший научными занятиями Абеля в университете, отправился в экспедицию в Сибирь. Своим заместителем на время научной командировки Ханстин рекомендовал Абеля.

Нильс начал вести занятия по механике и астрономии в университете и в Военной академии, где ранее преподавал Ханстин. Теперь Абель получал значительное по тем временам жалование: 533 талера в год, но жил по-прежнему очень бедно. Все деньги уходили на погашение накопившихся долгов.

В феврале 1828 г. Абель закончил вторую часть своих "Исследований". Эта работа произвела революцию в теории эллиптических функций. У Абеля по этой проблематике были два соперника: Якоби и Гаусс. На протяжении всего 19-го века теория эллиптических функций занимала важное место в математике. Поэтому приоритет в этой области был очень важен. У каждого из этих троих математиков было желание приписать себе честь открытия. Первым отступил Гаусс. После тщательного разбирательства приоритет остался за Абелем.

Абель стал одним из самых популярных математиков Европы, соперничество с Якоби ещё усилило интерес к его работам. Но с некоторых пор болезнь начала серьёзно подтачивать его здоровье. Абель не выдерживал больше прежнего напряжённого ритма жизни и вынужден был отказаться от многих замыслов.

Жалкое положение, которое занимал Абель в Норвегии, настолько не соответствовало его научной репутации в Европе, что четыре члена Французской Академии наук обратились к шведскому королю Карлу Иоанну с просьбой предоставить Абелю соответствующую должность. Ими были Лежандр, Пуассон, Лакруа и Морис.

Постоянная нужда, недоедание, отсутствие отдыха, изнурительная работа сделали своё дело: осень 1828 года Абель встречает в постели. Он расстроен, что болезнь мешает ему «привести в порядок невероятное количество работы».

В середине декабря 1828 года Абель решил поехать на рождественские праздники к своим друзьям во Фроланд. Хотя врач Абеля возражал против этого путешествия, Нильс всё же решил ехать. Он приехал во Фроланд 19 декабря. В дороге Абель сильно простудился. Его беспокоили кашель, озноб. На его болезнь наложилась тяжёлая пневмония.

         Отъезд из Фроланда был назначен на 9 января. В этот день с утра Абеля ожидали запряженные сани. Но перед самым отъездом Нильсу стало плохо. Вызванный врач предписал постельный режим и полный покой. Недели через две-три наступило улучшение, но оно оказалось недолгим. 21 февраля по просьбе Нильса врач написал в письме в Коллегию, что в связи с болезнью Абель не сможет приступить к исполнению своих обязанностей в университете ранее весны 1829 года.

Надеждам врача на выздоровление Абеля не суждено было сбыться. Нильс слабел все больше и больше. Туберкулёз, он уже не мог писать. В марте он уже почти не вставал с постели.

          6 апреля в 4 часа дня Абель умер. В день похорон в доме собралась огромная толпа, несмотря на необычайно сильный снегопад. Носилки с гробом, украшенные гирляндами с именем умершего, поставили на сани, а все собравшиеся шли пешком три километра до церкви. У церкви была устроена аллея из свежесрубленных сосен.

В приходской книге фроландской церкви об этом событии сохранилась короткая запись: «Математик Нильс Абель, холостяк, умер на фроландском заводе 26 лет от роду 6 апреля 1829 года, похоронен 13 апреля».

Через несколько дней после смерти Абеля из Берлина пришло письмо, в котором его приглашали на работу в университет.

      Признание гения Абеля произошло лишь после его смерти. 11 июня 1829 года на заседании Парижской Академии наук Лежандр объявил о смерти Абеля. Теперь Коши потребовалась всего неделя, чтобы подготовить своё заключение. На очередном заседании Академия заслушала сообщение Коши и приняла решение опубликовать «Мемуар» Абеля в серии работ иностранных ученых.

28 июня 1830 г. Французская Академия наук наградила Абеля и Якоби Большой премией за выдающиеся математические открытия. Долю Абеля - 3000 франков - должны были получить его родные.

К.Ф. Гаусс писал в письме к Шумахеру: «Я не видел в газетах ни одного сообщения о смерти Абеля. Это большая потеря для науки. Если где - нибудь будет опубликована биография этого в высшей степени замечательного человека и Вам попадётся в руки экземпляр, дайте мне знать».

           Самая важная теорема Абеля об интегралах от алгебраических функций была опубликована лишь посмертно. Лежандр назвал это открытие «нерукотворным памятником» Абелю.

          Абелю поставлены в Осло и в Ерстаде памятники. Но более величественный памятник воздвигли ему математики: существует целый ряд теорем Абеля, есть абелевы интегралы, уравнения Абеля, абелевы группы, формулы Абеля, преобразования Абеля.

Современникам Абеля его исследования казались неприменимыми на практике. Но через 100 лет теоретико-групповые методы, ведущие своё начало от работ Лагранжа, Абеля и Галуа, стали основой всех расчётов в квантован механике. Говорили, что он оставил в математике столько проблем, что этого им хватит на 500 лет.

"Журнал Крелля" писал после смерти Абеля: "Он работал не для себя, а лишь для науки, которую горячо любил".

Кристина Кемп в 1829 году вышла замуж за богатого профессора геологии Кейльгау.

Учитель Абеля Хольмбое издал собрание его сочинений, «Oeuvres completes» (2 т., Христиания, 1839). Шарль Эрмит сказал: «Абель оставил математикам столь богатое наследие, что им будет чем заниматься в ближайшие 150 лет». В его честь был назван кратер на Луне, его портрет помещался на норвежскую банкноту 500 крон (1978).

          Так как математики не получают Нобелевской премии, в 2002 году правительством Норвегии для них была основана специальная премия, получившая название Абелевской. С 2003 года она каждый год присуждается выдающимся современным математикам. Её денежный эквивалент составляет чуть менее миллиона долларов США. Эта премия была создана не только для того, чтобы награждать достойных исследователей, но и для популяризации математики среди подрастающего поколения. Среди её лауреатов такие учёные, как Леннарт Карлесон, Джон Г. Томпсон, Жан-Пьер Серр. В 2009 г. премия Абеля была вручена французскому математику российского происхождения Михаилу Громову. В 2014 г. премия была вручена 78-летнему Якову Синаю, который на тот момент работал в Принстонском университете в США (с 1993г.), а до этого работал в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау. Его Альма-матер – мехмат МГУ им. М.В. Ломоносова. Премия ему была присуждена «за фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодическую теорию и математическую физику». Размер награды составил 1 млн. долларов.

         В честь Абеля был назван кратер на Луне.

Однажды он сказал:

• Математика для учёного – то же самое, что скальпель для анатома.