У истоков математической физики

С именем Фурье связано 15 математических терминов. Широко известны, в частности, ряд, инте¬грал, преобразование, метод Фурье, открытое им дифференциальное уравнение теплопроводности. Однако мало кто знает, что выдающийся французский математик был также талантливым дипло¬матом, участвовал в походе Наполеона в Египет, более 10 лет возглавлял один из департаментов Франции, добившись на этом поприще больших успехов. Жизнь Фурье, лишённая внешнего блеска, была полностью посвящена служению народу Франции, Науке и подготовке учеников к работе на этом непростом поприще.

    Жан Батист Жозеф Фурье (Jean-Baptiste Joseph Fourier ) родился 21 марта 1768 года в городе Осере (Франция) в семье портного. Девятый и не последний ребёнок (в семье всего было 15 детей, из них 12 - родные братья и сестры, плюс трое сводных, от первой умершей жены отца), Фурье полностью осиротел к 9 годам. Получить элементарное образование и избежать безысходной бедности ему удалось благодаря бескорыстной заботе и поддержке Madame Moitton. Она привлекла внимание епископа Осера к судьбе одарённого и вежливого мальчика и добилась его покровительства. По протекции епископа его приняли в Артиллерийскую школу при колледже Бенедиктинцев.

    В 12 лет он сочинял проповеди, которые церковники выдавали за собственные. К 13 годам Жозеф заинтересовался математикой, а в возрасте 14 лет он освоил шеститомный «Курс математики» Этьена Безу. В это же время он стал собирать свечные огарки в здании школы, чтобы иметь возможность заниматься по ночам. В 1782—1783 годах Фурье получил множество призов по риторике, математике, механике и пению. Последовавшая продолжительная болезнь, возможно, объяснялась этими усиленными занятиями.

Из школы шли две дороги: на одной его ждала шпага, на другой - крест и сутана. Он выбрал артиллерию, как ближайший к математике род войск, но не был допущен к экзаменам. Даже на авто¬ритетную рекомендацию, где отмечалась не¬обыкновенная одарённость юноши, последовал отказ. Министр сказал: «Фурье, как неблагородный, не может быть принят в артиллерию, хотя бы он был второй Ньютон».

Он хотел быть военным, но офицерские звания сыновьям портных не присваивались. Поэтому после окончания училища (1784) он становится в нём же преподавателем математики и физики, заменяет заболевших коллег по всем предметам.

В декабре 1789 г. Фурье представил в Академию свои исследования по решению уравнений с числовыми коэффициентами (теорема Фурье), рецензентами которой были назначены А.-М.Лежандр и Г.Монж. Опубликовать её сразу не удалось, к большому огорчению честолюбивого автора.

        Великая французская революция, начавшаяся штурмом Бастилии 14 июля 1789 г., открыла Фурье, как и многим другим "безродным гениям “, прямой путь в науку и общественную деятельность. Активный оратор, Фурье был выбран в 21 год депутатом местного Народного собрания, защищавшего интересы граждан, и, одновременно, стал членом Комитета спасения, проводившего в жизнь правительственные декреты. Он успешно призывал жителей Оксера к активной деятельности, добровольной службе в армии, ярко обличал коррупцию и защищал от тирании властей. Первоначально Фурье был на позициях ярого якобинца, но со временем стал умеренным либералом. Полагают, что Фурье начал поддерживать идеи равенства задолго до вступления в комитет, чему доказательством является письмо самого Фурье, написанное в июне 1795 года в тюрьме, а само вступление в комитет связывают с желанием защитить республику от агрессии со стороны Бельгии.

В период якобинской диктатуры за свои обличительные речи Фурье попал под действие декрета 1794, по которому он был арестован и мог быть гильотинирован. После освобождения Фурье решил сам отправиться в Париж, чтобы защищаться от незаслуженных обвинений. Однако Робеспьер отказался принять его и выслушать его аргументы. Последовал арест и заключение. Из тюрьмы Фурье был освобождён по требованию Народного собрания Осера, приславшего в Париж депутатов с петицией, обращённой к Сен-Жюсту. Последний нехотя принял депутатов и с сомнениями освободил Фурье. После термидорианского переворота в июле 1794 г. Фурье был полностью амнистирован и смог вернуться в родной город.

В это же время для ускоренной подготовки преподавателей высшей и средней школы в Париже была открыта Нормальная школа. Первый набор в неё составил 1500 человек, по одному из каждого района Франции, который и должен был содержать своего выдвиженца. Пока Фурье сидел в тюрьме, в Осере прошли выборы представителя в Школу, но, к его счастью, в соседнем районе не нашлось достойного кандидата, и место было предложено ему.

Нормальная школа, в которой преподавали лучшие учёные (математики Лагранж, Лаплас, Монж) открылась в январе 1795 г. и просуществовала всего несколько месяцев вследствие суровости зимы, осложнявшей жизнь бедных студентов, и плохой организации обучения. Выделенный для чтения лекций Зал музея Естественной истории в Ботаническом саду был слишком мал, чтобы вместить всех слушателей. Да и сами занятия больше походили на представления с лекторами в шитых золотом мундирах, нежели профессиональные уроки. Лагранж говорил с заметным итальянским акцентом, Лаплас - тихо и торопливо, Бертолле - неоднократно повторялся, и только Монж блестяще читал свои лекции.

Однако даже в переполненной аудитории Фурье привлек внимание выдающихся ученых, и, когда Школа была закрыта, Г. Монж предложил ему сверхштатную должность своего помощника во вновь созданной военно-инженерной академии. Позднее она была переименована в Политехническую школу и в таком виде существует и сегодня.

Квота на первый приём составляла всего 50 студентов. Фурье не проходил по возрастному критерию - он оказался старше положенных 20 лет, поэтому приглашение Монжа для него была единственная возможность продолжить обучение и жизнь в Париже. Но начать занятия сразу не пришлось: старые враги написали новый донос, после чего Фурье был вновь арестован, на этот раз как якобинец, член Комитета спасения и последователь того самого Робеспьера, который поместил его в тюрьму! Но и на этот раз он был вызволен из заключения совместными усилиями студентов и профессоров, которые писали петиции и стучались во все инстанции.

        1 сентября 1795 года Фурье восстановился на работу в Политехнической школе, которая занималась подготовкой военных, и директором которой был Монж. Фурье преподавал начертательную геометрию, некоторые главы анализа (совместно с Лагранжем), а также занимался подбором учеников. Через два года он стал руководить кафедрой анализа и механики, сменив на этом посту Лагранжа.

По своим служебным обязанностям Фурье, который был принят в качестве ассистента, должен был помогать Монжу в подготовке демонстраций при чтении лекций по курсу дескриптивной геометрии и приложениям математики к военному делу (тактике маневрирования, организации атаки и обороны). Однако круг его фактических обязанностей был гораздо шире. Он прослушал и записал с комментариями математические курсы Лагранжа, Лапласа, которыми в дальнейшем пользовались несколько поколений студентов, подготовил и читал собственный курс по алгебраическим уравнениям, вёл семинары по механике и физике. Лагранж считал его своим лучшим учеником.

      Подготовка и проведение ежедневных занятий не помешали Фурье подготовить первую статью, содержащую новое доказательство правила Декарта, опубликованного в 1637 г., о связи числа корней и перемен знаков коэффициентов алгебраических уравнений. Доказательство, опубликованное Фурье в 1798 г. по настоятельным рекомендациям Лагранжа и Лапласа, воспроизводится в неизменной форме и в сегодняшних учебниках. Одновременно было сформулировано правило оценки числа действительных корней уравнений в заданной области задания переменной. Позднее его результаты обобщили швейцарец Жак Шарь Франсуа Штурм (работавший в Париже) и математик Огюстен Луи Коши.

       Обучаясь в Нормальной школе уже будучи опытным преподавателем, Фурье давал оценку своим педагогам, их манере ведения лекций. Он замечал хаотичный подход к изложению Лагранжа, а также его ошибки в предложениях, которые Фурье считал следствием его итальянских корней, при этом называя последнего экстраординарным человеком. Он называл лекции Лапласа точными, но очень быстрыми и малоинтересными. Лекции Монжа, по словам Фурье, были аккуратными и понятными, произнесённые громким голосом. Он полагал, что лекции Клода Луи Бертоле по химии мог бы понять только тот, кто уже знал предмет, так как тот говорил с трудом, колебался и очень много повторялся.

         Занимаясь подбором учеников для Политехнической школы, Фурье полагал, что более чем усердие важен талант. Одним из учеников Фурье был Пуассон, который замещал его в школе во время египетского похода, а затем стал его оппонентом по вопросам аналитической теории тепла, предложенной Фурье.

Преподавателям вменялось в обязанность проводить беседы с обучаемыми, запрещалось читать лекции по запискам, лекции предписывалось читать стоя, а не сидя за кафедрой, как раньше. Фурье был назначен преподавателем математики в этой школе, а затем, в 1796 г, в Политехнической школе. В этот период он раскрылся как выдающийся педагог. Он любил оживлять свои лекции по математике попутными историческими сведениями.

    Сам император заботился о школе, многое прощал её профессорам даже тогда, когда они распростра¬няли свои, по его мнению, непомерные требования к обучающимся там его любимым артиллеристам.

       В 1798 году Наполеон пригласил Фурье (вместе с Г. Монжем и К. Бертолле) в состав экспедиции, направлявшейся в Египет. Известны много-численные сентенции Наполеона в пользу учёных: «Настоящих учеёных никогда не бывает слишком много», «Учёных надо оберегать в походах наравне с коровами — здоровье и тех и других необходимо для победы», «Предела учёности не существует» и т. д.

    Экспедиция фактически реализовала рекомендацию Г.Ф. Лейбница, данную им 130 годами ранее ещё Людовику XIV: совершить поход в Египет для ускорения темпов интеллектуального и экономического развития Франции.

Фурье было 30 лет, когда с армией Наполеона он вступил в Египет. Он был слишком честным и слишком наивным, чтобы понять суть «великого похода».

Поездка была очень трудной. Наполеон назначил Фурье губернатором Нижнего Египта.

       Император изгонял турок из Египта, сражался в Палестине с сирийцами, преследовал предводителя маммонов Марад-бея. Что же касается учёных, то они были заняты географией, археологией, медициной, земледелием, математикой, историей и т. д. Фурье был официальным представителем главнокомандующего в диване Каира. Ему при¬ходилось участвовать в разрешении конфликт¬ных ситуаций, возникавших между населением и французскими солдатами. Такие его качества, как вежливость, доброжелательность, миролю¬бие способствовали налаживанию взаимоотно-шений между противоборствующими сторонами.

      В августе 1799 года Наполеон в сопровождении 500 человек, сре¬ди которых было большинство прибывших с ним учёных, тайно уехал во Францию, оставив за себя генерала Клебера. Фурье в это время возглавлял группу, проводившую исследования в Верхнем Египте.

Вскоре в стране вспыхнуло восстание, в результате которого французы потеряли Каир. Переговоры о перемирии вёл Фурье. Они шли в полуразрушенном квартале, где всё ещё раздава¬лись выстрелы. Одна пуля разбила кофейник, ко¬торый Фурье держал в руке.

В течение трёх лет он был секретарём института, организованного Наполеоном в Каире. Во Францию Фурье вернулся только в 1801 году.

В феврале 1802 года в своём кабинете скончался префект провинции Изер c центром в городе Гренобль на границе с Италией. На его место Наполеон решил назначить Фурье, памятуя его административные и дипломатические достижения. На этом посту он оставался целых 12 лет. К своим обязанностям он относился чрезвычайно добросовестно. Он старался прежде всего примирить враждующие партии, наладить сотрудничество с духовенством для благоустройства департамента. Осушение обширных болот, на которых размещалось 37 общин, и завершение строительства дороги из Гренобля в Турин потребовали больших усилий: префект руководил топографической съемкой болотистой местности, ездил в деревни, ходил по домам, чтобы добиться участия в работах всех, кто на это способен, а также собрать необходи¬мые средства. Упорный труд принёс свои плоды: зазеленели луга, поля стали давать отменные урожаи, повсеместно появились стада.

В свободное время он работал в новой области - теории теплоты. Несмотря на признаки нездоровья, одышку и ревматизм, появившийся у маленького и тщедушного учёного после переезда из солнечного Египта в ветреный и холодный зимой Гренобль, работа шла успешно и к лету 1807 года была подготовлена обширная рукопись по теории теплоты. За свои работы в этой области он был удостоен в 1812 г. большой премии Академии.

Когда бежавший с острова Эльба Наполеон высадился 1 марта 1815 г, на французский берег, Фурье поспешил в Лион и доложил Бурбонам о случившемся. Ему не поверили. За полтора месяца до поражения Наполеона под Ватерлоо Фурье был отстранён от должности. Это облегчило его дальнейшую судьбу, хотя вторая реставрация застала Фурье в Париже, где он закладывал своё имущество, чтобы не умереть с голоду. Он жил на скромную пенсию отставного префекта.

После восстановления монархии Фурье решил выйти на пенсию. Вначале король её предоставил, а затем Фурье был уволен без предоставления пенсии, попутно лишён и титула барона, и причитающихся выплат. Наступил один из самых трудных периодов в его жизни, да и не только у него: Г. Монж от пережитых унижений сошёл с ума, бывший министр внутренних дел всесильный Фуше потерял дочь, умершую от голода. Фурье дрогнул и даже уехал в 1816 г. в Англию, затем решил вернуться на родину и смог найти достойное место в новых условиях. Его бывший студент предложил своему учителю не особенно обременительное место руководителя отдела статистики департамента Сены, дававшее стабильный доход, которое тот и занимал до своей смерти.

Академия попыталась в 1816 г. избрать Фурье своим членом, но правительство Бурбонов воспротивилось этому. В следующем году Академия настояла на своём и избрала Фурье своим членом. Людовик XVIII простил Фурье его политическое прошлое и даже сохранил пожалованный ему Наполеоном титул барона с пенсионом.

В 1822 г. выходит его классическая "Аналитическая теория тепла", быстро принёсшая Фурье всемирную известность. Лорд Кельвин назвал этот груд "великой математической поэмой". Эта книга оказывала мощное воздействие на развитие математики в течение почти двух столетий. Во многих выводах Фурье полагался на свою мощную интуицию, его мало волновали вопросы строгости полученных им доказательств, за что его справедливо критиковали П. Лаплас, Ж. Лагранж, А. Лежандр. Ряд его результатов был затем обоснован в работах П. Дирихле, Б. Римана, Г. Кантора, К. Вейерштрасса.

В 1822 году он был избран членом Английского королевского общества, в 1829 - почётным членом Российской академии наук.

            В 1827 г. умер П. Лаплас и Фурье занял его место в должности директора Политехнической школы. В своё время Г. Монж отклонил предложение быть директором этой школы, сказав при этом: "Мне больше нравится везти повозку, нежели сидеть в ней" (хотя в 1797 г. и изменил своё решение).

Фурье разработал методы интегрирования уравнения теплопроводности при различных граничных условиях, он создал метод разделения переменных (метод Фурье) и применил его к ряду задач. В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами (рядами Фурье). Он показал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением.

Фурье не удалось доказать, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, но его попытки сделать это были толчком для работ в этом направлении.

Работы Ж. Фурье, П. Дирихле, Н. Лобачевского, Б. Римана по тригонометрическим рядам способствовали созданию теории множеств и теории функций действительной переменной.

Много сил Фурье тратил на работу с молодыми учёными. Среди его учеников наибольшую известность получили Ж.Ш.Ф. Штурм, Ж. Лиувилль, первая женщина-математик, получившая при поддержке Фурье право посещать заседания академии, Софи Жермен, мостостроитель-инженер и математик К.-Л. М. Навье. Он активно пытался помочь Э.Галуа опубликовать свои работы, а норвежскому математику Н.Х. Абелю получить постоянное место во Франции.

С годами Фурье стал очень говорлив: вместо продолжения своих исследований он хвастливо рассказывал о своих планах. Он столько сделал для науки, что ему не было нужды хвалить себя или пускать пыль в глаза. Своими классическими исследованиями по теории распространения тепла Фурье сформулировал становой хребет математической физики, существенно повлиял на научную сторону нашей цивилизации. Последние годы Фурье прошли в нескончаемых выступлениях: как секретарь академии, он всегда имел возможность найти слушателей. И не отказывал себе в этом.

После экспедиции в Египет он убедил себя, что жара полезна для здоровья. Он укутывался как мумия и жил в комнатах, где, по словам его друзей, было жарче, чем в аду и в Сахаре, вместе взятых.

В последние годы он жил уединённо, любил беседы, но не любил споры. Он рано постарел, маниакально боялся простуды и шутил над своей привычкой кутаться: «Меня считают толстяком, но если попробуют раздеть, как снимают покровы с египетской мумии, то найдут один скелет ...». Он болел, но врачей не слушал, твердил: «Главное - терпение и тепло ...».

Еще в Египте и Гренобле учёного беспокоила аневризма сердца. Со временем болезнь обостри¬лась. 4 мая 1830 г. он упал с лестницы, после чего почувствовал себя плохо; 16 мая с ним случился сильный припадок; больной лёг в постель и хотел продолжить беседу с находящимся рядом врачом, но вдруг крикнул: "Скорее, скорее, уксуса! Я умираю". И скончался.

Основные открытия, которые прославили Фурье и дали мощный импульс развитию матема¬тики, сделаны в математической физике и теории тригонометрических рядов. Начало было поло¬жено в 1807 г., когда префект департамента Изеры Фурье представил Академии наук статью о распространении тепла внутри твердых тел. Она показалась столь важной, что Академия объ¬явила задачу о распространении тепла темой большой премии за 1812 г.

Для многих поколений учёных Фурье навсегда останется образцом неутомимого служения нау¬ке, идеалом добра и справедливости.

       Научные достижения Фурье:

• Доказал теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными пределами (Теорема Фурье, 1796).

• Исследовал, независимо от Ж. Мурайле, вопрос об условиях применимости разработанного Исааком Ньютоном метода численного решения уравнений (1818).

        Монография «Аналитическая теория тепла», в которой был дан вывод уравнения теплопроводности в твёрдом теле, и разработаны методы его интегрирования при различных граничных условиях. Метод Фурье состоит в представлении неизвестной функции нескольких переменных в виде произведения нескольких функций одной переменной, в результате чего уравнение в частных производных удаётся свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Данный метод привёл к новой форме представления функций — в виде тригонометрических рядов, названных рядами Фурье. Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

,

где

Ak — амплитуда k-го гармонического колебания (функции cos),

— круговая частота гармонического колебания,

θk - начальная фаза k-го колебания,

• k-я комплексная амплитуда

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

        Частные суммы ряда Фурье — важный аппарат приближенного представления функции f(x). Ряды Фурье получили большое применение в работах Ж. Фурье и других учёных.

• Нашёл формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике.

• Доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением.

• В 1823 году независимо от Эрстеда открыл термоэлектрический эффект, показал, что он обладает свойством суперпозиции, создал термоэлектрический элемент.

        Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни. В 1935 г. Международный астрономический союз присвоил имя Фурье кратеру на видимой стороне Луны.

Однажды он сказал:

• Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики.

• Математический анализ, являясь способностью человеческого разума, восполняет краткость нашей жизни и несовершенство наших чувств.