Сторонник арифметизации математики - Статьи об истории

Леопольд Кронекер (Leopold Kronecker) родился 7 декабря 1823 года в прусском городе Лигниц (ныне Легница, Польша) в богатой еврейской семье. Его родители заботились об образовании своих детей и обеспечтли им частные уроки на дому. Леопольд – младший брат Гуго Кронекера, знаменитого немецкого физиолога.

По окончании гимназии поступил в Берлинский университет, после окончания которого в 1845 году получил докторскую степень за работу по теории чисел. Интерес к математике пробудился у Кронекера под влиянием его гимназического учителя, впоследствии известного математика Э. Куммера. До 30 лет Кронекер занимался семейным бизнесом, связанным с сельским хозяйством, а математике посвящал лишь свободное время. Удачно устроив свои дела и став зажиточным человеком, он в 1855 году поселился в Берлине. Там в течение многих лет он преподавал в университете, не занимая формально профессорской кафедры. За фундаментальное исследование в области алгебраической теории чисел в 1861 г. он был избран членом Берлинской АН и стал приват-доцентом Берлинского университета, а в 1883 г., после перехода в христианство, — профессором.

Кронекер был одним из основателей современной алгебраической теории чисел (наряду с Э. Куммером, Р. Дедекиндом и Д. Гильбертом). Ему принадлежат исследования по арифметической теории алгебраических величин, открывшие принципиально новые направления развития в старейшем теоретико-числовом разделе математики. Он внёс решающий вклад в разработку методов решения многомерных задач диофантовых приближений и получил важные результаты в теории квадратичных форм и теории групп (особенно конечных абелевых групп). Основные работы Кронекера относятся к алгебре и теории чисел - теории квадратичных форм и теории групп, к эллиптическим функциям. В алгебре его именем называется критерий совместности произвольной системы линейных уравнений.

Им был предложен метод нахождения рациональных делителей данного многочлена с рациональными коэффициентами.

Его именем названы: кронекерово произведение алгебр, теория Кронекера, теорема Кронекера, символ Кронекера, лемма Кронекера, теорема Кронекера — Вебера в теории чисел, метод Кронекера, теорема Кронекера — Капелли в алгебре, символ Кронекера — Якоби.

Большое значение имеют его исследования арифметической теории алгебраических величин. Он был сторонником "арифметизации" математики, считая, что только арифметика обладает подлинной реальностью. Защищая эти неверные взгляды, он вёл упорную борьбу с принципами теоретико-функциональной школы К.Вейерштрасса и теоретико-множественной школы Г. Кантора. А.Пуанкаре, шутя, говорил, что Кронекер добился выдающихся результатов в математике только потому, что он нередко забывал о своих философских убеждениях.

Посетивший в 1886 г. Кронекера молодой Д. Гильберт так вспоминал свою встречу с грозным Леопольдом: "Это был маленький человек, не более пяти футов роста, который, удачно устроив свои дела, связанные с сельским хозяйством, обеспечил семью, и в возрасте 30 лет удалился от дел с тем, чтобы посвятить остаток жизни своему любимому занятию - математике. Будучи членом Берлинской Академии, он регулярно пользовался своим правом читать лекции в университете. Теперь ему было 63 года, и только недавно, вместо ушедшего в отставку Э. Куммера, он стал официальным профессором".

Кронекеру принадлежат очень важные достижения в математике, и особенно в высшей алгебре. Однако, как он однажды заметил, ему пришлось затратить больше времени на обдумывание философских проблем, чем математических. Он раздражал своих коллег - математиков громко выражаемыми сомнениями в законности оснований большей части математики.

По его убеждению, основой математики должно быть число, а основой всех чисел – натуральное число, а потому в математике не существует ничего, кроме того, что может быть представлено в виде конечного ряда положительных целых чисел. Стремление Кронекера вместить всю математику в рамки теории чисел иллюстрирует его широкое известное заявление на съезде математиков в Берлине в 1886 году: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека» ( нем. «Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk», англ. „God made the integers, all the rest is the work of man.“).

— трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Ф. Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году. Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа , то доказательство трансцендентности положило конец попыткам построить квадратуру круга, длившимся более 2,5 тысяч лет.

Однажды, обсуждая с Фердинандом фон Линдеманом его доказательство трансцендентности числа π, Кронекер заявил: "Что пользы в вашем замечательном исследовании числа π ? Зачем заниматься такими проблемами, когда иррациональные числа не существуют? " Сам Кронекер определял число π не обычным геометрическим путём, а с помощью ряда 1 - 1/3 + 13 - 1/7 +... .

В области оснований математики Кронекер вместе с К. Ф. Гауссом, А. Пуанкаре и другими стоял на позициях интуиционизма и в антиномиях теории множеств видел свидетельство необходимости радикальной программы интуиционистского переустройства всего математического знания.

Кронекер имел небольшой рост и стеснялся этого. Будучи с детства готовым к шуткам и насмешкам в свой адрес, имел вспыльчивый неуживчивый характер. Со многими окружающими имел натянутые, если не сказать враждебные отношения. Но далеко не со всеми. Герман Гельмгольц, например, который был профессором в Берлине с 1871 года, оставался в хороших отношениях с Кронекером долгие годы.

Обладая многими привлекательными чертами, Кронекер в то же время делал ядовитые нападки на математиков, чьи работы он не одобрял. Выдающийся уже старый Вейерштрасс был доведен почти до слёз замечаниями Кронекера о «некорректности всех выводов, с которыми имеет дело так называемый анализ», а легко возбудимый, чувствительный Кантор из-за нападок Кронекера на теорию множеств был полностью сломлен духовно и должен был искать убежище в психиатрической лечебнице.

Кронекер написал свыше 120 больших и малых мемуаров, печатавшихся в специальных журналах. Его лемму использовал Давид Гильберт при доказательстве существования конечного базиса системы инвариантов.

Леопольд Кронекер был действительным членом многих европейских научных академий. Идеи Кронекера частично нашли продолжение в исследованиях в 20 веке по основаниям математики – речь идёт о так называемой конструктивной математике.

При содействии Вейерштрасса, Гельмгольца, Шрётера и Фукса, Кронекер продолжал издание «Journal für die reine und angewandte Mathematik», основанного Крелле.

По поручению Берлинской академии наук Кронекер приступил к изданию сочинений своего учителя П.Г.Л. Дирихле (т.I,1890).

Кронекер был членом Берлинской академии наук (1861), член-корреспондент Парижской академии наук (1868), Петербургской академии наук (1872), иностранный член Лондонского королевского общества (1884).

Умер Л. Кронекер 29 декабря 1891 года в Берлине, через несколько месяцев после смерти своей жены.