Его имя – среди математических объектов

Фердинанд Георг Фробениус (Ferdinand Georg Frobenius) – немецкий математик, известный своим вкладом в теорию эллиптических функций, дифференциальных уравнений и теории групп. Он также был первым, кто ввёл понятие рациональной аппроксимации функций (ныне известный как аппроксимации Паде), и дал первое полное доказательство теоремы Гамильтона — Кэли. Также он внёс свой вклад в определение дифференциально-геометрических объектов в современной математической физике, известных ныне как многообразия Фробениуса.

         Фердинанд Георг Фробениус родился 26 октября 1849 году в Шарлоттенбурге, пригороде Берлина, в семье Фердинанда Фробениуса и Кристины Элизабет Фридрих.

       В 1860 году, когда ему было почти одиннадцать лет, он поступил в Иоахимстальскую гимназию. В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, затем продолжил обучение в университете Гумбольдта в Берлине, где он посещал лекции Леопольда Кронекера, Эрнста Эдуарда Куммера, Карла Вейерштрасса.

      В 1870 году защитил там диссертацию под руководством К. Вейерштрасса и Э. Э. Куммера. Некоторое время преподавал в берлинской гимназии. В 1874 году, без обычной для этого хабилитации, был принят на должность профессора в Берлинский университет. Подобное стало возможным благодаря сильной поддержке со стороны Вейерштрасса, обладавшего непререкаемым авторитетом. Фробениус же и сейчас считается одним из наиболее одарённых его учеников.

      В течение семнадцати лет, между 1875 и 1892, Фробениус работал в Цюрихе. Именно там он женился, создал семью, и проделал важную работу в самых различных областях математики.

       В 1892 году вернулся в Берлинский университет, заняв место умершего Леопольда Кронекера. И вновь поддержку Фробениусу оказал его учитель Вейерштрасс, веривший, что его ученик – именно тот математик, который способен возглавить берлинское сообщество математиков.

       Член Прусской академии наук (с 1893). Вместе с Кронекером, Лазарусом Иммануэлем Фуксом и Германом Амандусом Шварцем принадлежал к узкому кругу известнейших берлинских математиков своего времени.

       Семидесятые и восьмидесятые годы девятнадцатого века – первый период творчества Фробениуса, к которому относятся его исследования в области теории дифференциальных уравнений и теории эллиптических функций. С девяностых годов начинается второй период его научной деятельности, когда он посвятил себя исключительно алгебре и смежным с нею вопросам теории чисел.

      Важнейшие научные исследования Фробениуса относятся именно к алгебре, теории алгебраических чисел, теории матриц, теории конечных групп и их представлению матрицами. Этими трудами он создал современную теорию абстрактных конечных групп.

      Профессор А.К. Сушкевич, слушавший лекции Фробениуса в 1907-1911 годах, вспоминал, что слушать его было довольно трудно, так как лекции он читал очень быстро, не ориентируясь на уровень подготовки студентов. Поэтому для начинающих это было совершенно неподходяще. Но подготовленному слушателю слушать его было большое удовольствие. Давая много фактического материала, он в то же время умел останавливаться на принципиальных вещах, выяснять их важность, давать общее представление о предмете в целом. В этом он был большой мастер, и лекции его представляли большую ценность. При этом он обладал большой скромностью, никогда не выдавая слушателям того, что многое из излагаемого им принадлежит ему самому.

      Занимаясь исследованием структуры алгебр конечной размерности (одновременно с Ф.Э. Молиным, но независимо от него), Фробениус ввёл такие понятия этой теории, как «радикал», «фактор-алгебра», «простая, полупростая и смежная алгебры». Наряду с Гамильтоном он считается одним из творцов алгебры гиперкомплексных чисел. Фробениус и Вейерштрасс заложили основы теории матриц как алгебраической дисциплины.

Фробениус сделал существенный вклад в теорию конечных групп линейных подстановок. В теории групп известны так называемые корневые группы Фробениуса, над которыми позже работал Шур.

            Теория групп была одним из основных интересов Фробениуса во второй половине его карьеры. Одним из первых его достижений было доказательство теорем Силова для абстрактных групп. Ранее доказательства были для групп перестановок. Его доказательство первой теоремы Силова (о существовании силовских групп) - одно из часто используемых сегодня.

Фробениус также доказал следующую фундаментальную теорему: если натуральное число n делит порядок | G | конечной группы G, то количество решений уравнения x = 1 в G равно kn для некоторого натурального числа k. Он также поставил следующую проблему: если в приведенной выше теореме k = 1, то решения уравнения x = 1 в G образуют подгруппу. Много лет назад эта проблема была решена для разрешимых групп. Только в 1991 году, после классификации конечных простых групп, эта проблема была решена в целом.

Более важным было создание им теории групповых характеров и групповых. представления, которые являются фундаментальным инструментом для изучения структуры групп. Эта работа привела к понятию взаимности Фробениуса и определению того, что сейчас называется группами Фробениуса. Группа G называется группой Фробениуса, если существует подгруппа H < G such that

H ∩ H x = {1} {\ displaystyle H \ cap H ^ {x} = \ {1 }} для всех x ∈ G - H {\ displaystyle x \ in GH} .

В этом случае набор

N = G - ⋃ x ∈ G - HH x {\ displaystyle N = G , - ! ! \ bigcup _ {x \ in GH} ! ! H ^ {x}}

вместе с тождественным элементом G образует подгруппу, которая нильпотентна как Джон Г. Томпсон показал в 1959 году. Все известные доказательства этой теоремы используют символы. В своей первой статье о персонажах (1896 г.) Фробениус построил таблицу символов группы PSL (2, p) {\ displaystyle PSL (2, p)} порядка (1/2) (p - p) для всех нечетных простых чисел p (эта группа проста, если p>3). Он также внес фундаментальный вклад в теорию представлений симметричных и знакопеременных групп.

Фробениус создал теорию характеров групп. Хотя теория характеров групп позже (в 1905 г.) была весьма упрощена И. Шуром, и в учебниках по теории групп (О. Ю. Шмидта, А. Шпейзера) изложена именно эта упрощенная теория Шура, но первоисточник теории характеров — работы Фробениуса — далеко не утратил своего значения. Теория Фробениуса гораздо глубже и ознакомление с нею весьма ценно для всех, кто интересуется теорией групп.

      Ему также принадлежит строгое изложение метода суммирования средними арифметическими, широко применяемого в учении о расходящихся рядах.

         Он также был первым, кто ввёл понятие рациональной аппроксимации функций (ныне известный как аппроксимации Паде), и дал первое полное доказательство теоремы Гамильтона – Кэли.

        Также Фробениус внёс свой вклад в определение дифференциально-геометрических объектов в современной математической физике, известных ныне как многообразия Фробениуса.

      Известная теорема Фробениуса — одна из теорем общей алгебры. Теорема показывает, что при некоторых естественных предположениях (конечномерность) всякое тело или поле, расширяющее поле вещественных чисел : либо совпадает с исходным полем ; либо изоморфно полю комплексных чисел ; либо изоморфно телу кватернионов .

       Эта теорема была доказана Ф. Г. Фробениусом в 1877 году. При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.

     Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) кватернионными единицами. Поля являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля. Тело кватернионов является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля. Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля. Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса.

      Он первым доказал, что алгебры с делением над вещественными числами существуют только в пространствах размерности один (вещественные числа), два (комплексные числа) и четыре (кватернионы) (теорема Фробениуса). Общее количество его работ – свыше ста.

Он считал себя учёным, - по словам Райнер Хаубрич - обязанностью которого было внести свой вклад в развитие чистой математики. Прикладная математика, по его мнению, была предметом изучения технических колледжей.

       Это способствовало относительному упадку Берлина в пользу Гёттингена.

       С другой стороны, он и его ученики внесли большой вклад в развитие современной концепции абстрактной группы - такой акцент на абстрактной математической структуре стал центральной темой математики в 20-м веке. При антипатии Фробениуса к прикладной математике, оказалось, что его фундаментальная работа по теории конечных групп важна для применения в квантовой механике и теоретической физике.

      Собрание сочинений Фробениуса «Gesammelte Abhandlungen» (1968) в трех томах было отредактировано Жан-Пьером Серром.

        Фердинанд Фробениус умер 3 августа 1917 года в возрасте 67 лет.

Имя Фробениуса носят следующие математические объекты:

• гомоморфизм Фробениуса

• критерий Фробениуса интегрируемости распределения

• матрица Фробениуса

• формула Фробениуса

• норма Фробениуса

• группа Фробениуса

• неравенство Фробениуса

• теорема Фробениуса

• полином Фробениуса

• оператор Перрона – Фробениуса

• теорема Фробениуса – Перрона

• факторизация по Фробениусу

• теорема взаимности Фробениуса

• многообразия Фробениуса

• фробениусово решение гипергеометрического уравнения

• метод Фробениуса

• индикатор Фробениуса – Шура

• лемма Коши – Фробениуса.