СОЗДАТЕЛЬ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Выдающийся немецкий математик Георг Кантор родился 19 февраля (3 марта) 1845г. в Петербурге в семье чиновника дипломатического представительства Германии и рос там до 11-летнего возраста.

Его отец, Георг-Вольдемар Кантор, был датским подданным, мать, Марианна Бойм, была племянницей известного венгерско-российского скрипача Иосифа Бойма. Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Его брат, Константин, стал талантливым пианистом.

Когда отец заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии.

Гимназию Кантор закончил в Берлине. В 1862 году будущий знаменитый учёный по настоянию отца поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе (ныне — Швейцарская высшая техническая школа Цюриха). Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете — очень важном центре математической мысли.

Первоначальные интересы Кантора были направлены на теорию чисел. К ней относилась и его диссертация «О неопределённых уравнениях второй степени» (1867 г.), которая стала основанием для присвоения ему звания приват-доцента в университете в Галле. В 1869 г. Кантор получил докторскую степень и в 1872 г. был назначен экстраординарным профессором. С 1879 г. он - ординарный профессор и заведующий кафедрой математики университета в Галле. Здесь он проработал до 1913 года.

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн. У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Рихардом Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии.

В 1877 г. Кантор сообщает Дедекинду о своём поразительном результате: вопреки мнению, распространённому среди математиков, ему удалось доказать, что взаимно однозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости возможно. Доказательство состояло в представлении каждой точки квадрата парой десятичных дробей. Эти десятичные представления «перемешиваются» строго определенным образом, чтобы получить одно десятичное разложение, и эта десятичная дробь сопоставляется с точкой на отрезке прямой. Весь этот процесс обратим.

Слова Кантора: «Я вижу это, но никак не могу этому поверить!» — говорят о том, насколько этот результат оказался неожиданным для него самого. Кантор сразу же подготовил рукопись с описанием своего нового открытия, и послал её в журнал Крелле. Работа эта послужила первым поводом для открытых столкновений между её автором и Кронекером. Будучи редактором журнала, Кронекер имел право отказать в публикации любой статьи, работа же Кантора настолько шокировала его, что он не преминул этим правом воспользоваться.

Получить звание профессора в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском — в то время ведущем университете Германии. Однако его теории встречают серьёзную критику, и мечтам не удаётся воплотиться в жизнь. Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, всё больше и больше был не в восторге от перспективы получить такого коллегу, как Кантор, воспринимая его как «развратителя молодёжи», наполнявшего своими идеями головы молодого поколения математиков. Более того, Кронекер, будучи заметной фигурой в математическом сообществе и бывшим учителем Кантора, был в корне не согласен с содержанием теорий последнего. Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку та утверждала существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, — без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых действительно бы удовлетворяли этим свойствам. Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета.

Первые работы Кантора были посвящены рядам Фурье и теории иррациональных чисел. Впоследствии он разработал теорию бесконечных множеств и теорию трансфинитных чисел, доказал несчётность множества всех действительных чисел, установив существование бесконечных множеств различных мощностей, развил принципы сравнения мощностей множеств, доказал эквивалентность множества точек отрезка и точек n - мерного многообразия.

В работах 1879-1884 г.г. Кантор систематически изложил принципы своего учения о бесконечности, доказал существование трансцендентных чисел.

Кантор ввёл понятие предельной точки, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал аксиому непрерывности, названную его именем. У Кантора в теории множеств были предшественники, в частности, Б.Больцано. Но именно созданная Кантором теория лежит ныне в основе математического анализа и послужила причиной пересмотра логических основ математики, оказала влияние на всю современную структуру математики.

Подчеркивая, что в понятии множества самое важное - это идея объединения элементов каким-либо общим признаком, Кантор писал: "Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое". В зависимости от количества элементов, множества делятся на конечные и бесконечные. Для сравнения двух множеств не обязательно пересчитывать их элементы, достаточно установить соответствие между элементами этих множеств.

Принцип установления взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств Кантор положил в основу исследования бесконечных множеств. Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества имеют одну и ту же мощность, или что они эквивалентны.

"В случае конечных множеств,- писал Кантор,- мощность совпадает с количеством элементов".

Эта идея привела Кантора к открытиям, которые противоречат нашей интуиции. Например, на бесконечные множества не распространяется евклидова аксиома о том, что целое больше части. В качестве примера можно указать на то, что множества натуральных чисел и чётных чисел равномощны. Эта особенность может быть положена в основу определения бесконечного множества: множество называется бесконечным, если оно равномощно с одним из своих подмножеств. Любое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счётным (его элементы можно занумеровать).

В 1873 г. Кантор сделал ещё более поразительное открытие: множества натуральных чисел, рациональных чисел и алгебраических чисел имеют одну и ту же мощность. Оказывается, множество рациональных чисел является счётным. В то же время (1873 г.) Кантор доказал существование неравномощных бесконечных множеств: было доказано, что множество действительных чисел (множество точек прямой) несчётно. На основе сказанного можно вывести то, что существуют иррациональные числа, неалгебраические (трансцендентные) числа, причём их даже „больше", чем алгебраических чисел.

Кантор доказал, что среди бесконечных множеств существует множество наименьшей мощности и что им является множество натуральных чисел.

До Кантора считалось, что плоскость содержит больше точек, чем прямая. Установив в 1878 г. взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и отрезка, Кантор доказал, что в единичном квадрате точек не больше, чем в единичном отрезке.

С множествами в математику проникли парадоксы. Приведём два примера, когда невозможно дать ответ на поставленный вопрос (здесь речь идёт о множествах, которые содержат себя в качестве элемента):

        1. Один француз сказал, что все французы врут. Правду он сказал или нет?

        2. Одному брадобрею был дан приказ: под страхом смертной казни он должен брить всех тех и только тех людей, кто сам себя не бреет. Как ему поступить с собой? (Антиномия Б.Рассела)

В 1882 году Кантор установил переписку с Гёста Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и скоро начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати. Он попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Кантор согласился, но при этом отметил в переписке с другим человеком: "Согласно Миттаг-Лиффлёру, я должен подождать до 1984 года, что кажется мне слишком большой просьбой!.. Но конечно, отныне я никогда ничего не хочу знать об «Acta mathematica»". Вслед за этим Кантор резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, проявляя склонность воспринимать исполненную благих намерений критику как глубокое личное оскорбление.

В 1884 году Кантор испытал первый приступ нервной болезни, продолжавшийся около месяца. Большое влияние на развитие душевного кризиса оказали, несомненно, тщетные попытки решить центральный вопрос созданной им теории – проблему континуума.

Идеи Кантора с самого начала их появления встретили резкое неприятие со стороны некоторых его современников. Особенной непримиримостью отличались высказывания Леопольда Кронекера, члена Берлинской Академии наук. Кронекер полагал, что основой математики должно быть число, а основой всех чисел - натуральные числа. Известно его заявление на съезде в Берлине в 1886 г.: "Целые числа сотворил господь Бог, а всё прочее - дело людских рук". Как говорил Дирк Ян Стройк, в школе Кронекера лозунг Платона, что бог всегда "геометризует", был заменен лозунгом, что бог всегда "арифметизует".

Около 1884 г. под влиянием своей сестры Софьи Кантор стал интересоваться историко-литературной проблемой Шекспир – Бэкон и пришёл к убеждению, что автором шекспировских произведений был Френсис Бэкон.

В 1885 году Кантор временно отказывается от преподавания математики и начинает читать лекции по философии Лейбница. На лекции записались 25 слушателей, но постепенно они перестали ходить на них. По свидетельству С.В.Ковалевской, Кантор дал обещание впредь не читать лекции по философии. А вот заниматься философскими проблемами он продолжал.

В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году; в то время его репутация была достаточно сильна, даже несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.

Кантор в глазах Кронекера был самым большим еретиком. Легко возбудимый, чувствительный Кантор из-за нападок Кронекера на теорию множеств был полностью сломлен духовно и должен был искать убежище в психиатрической лечебнице.

Кантор обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались.

Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз — маниакально-депрессивный психоз.

В 1895-1897 годах Кантор опубликовал свою фундаментальную работу «К обоснованию учения о трансфинитных множествах», в которой были изложены все его основные результаты по общей теории множеств. Если в прежних работах его теория строилась как верхний этаж математической науки, то в этой работе, возможно, под влиянием Дедекинда, выдвинувшего идею построения теории множеств как фундамента арифметики (а через программу арифметизации и всей математики), Кантор представил свою теорию как нечто предшествующее всей математике. Однако на этом пути он столкнулся с трудным препятствием: он вплотную подошёл к парадоксам теории множеств. Он предлагает недоказуемость непротиворечивости существования основных объектов своей теории принять за недоказуемую истину, за аксиому.

В 1897 г. он отошёл от научного творчества. Болезнь вынудила Кантора просить в Университете в Галле разрешения на отпуск в течение осеннего семестра 1899 г. Его просьба была удовлетворена. В ноябре того же года он направил письмо министру культуры Германии о своём намерении полностью отказаться от профессуры. Поскольку его зарплата оставалась прежней, он готов был согласиться на скромную должность в библиотеке. Письмо заканчивалось требованием, чтобы министр сообщил свой ответ в ближайшие два дня. Если ему не предложат другую работу вместо преподавания, то, писал он, как человек, родившийся в России, он будет пытаться поступить на службу в русский дипломатический корпус.

По-видимому, ответ на просьбу Кантора не последовал, а на службу к императору Николаю II он не поступил. Тем не менее этот случай является характерным в поведении Кантора. Так, например, ещё в 1884 г., после первого серьёзного приступа болезни он всерьёз рассматривал вопрос об отказе от математики ради философии. Кантор был религиозным человеком, и его симпатии склонялись то к лютеранству, то к католицизму. Это отразилось и на его философских высказываниях.

Будучи неудовлетворённым отношением к его теории в Германии, Кантор пытался получить место профессора в одном из университетов в Великобритании и даже заводил речь о переезде в Америку.

      В конце 1899 г. он был госпитализирован из-за маниакальной депрессии, затем — в зимние семестры 1902 и 1903 гг. и позднее на всё более частые и длительные периоды он попадает в специальные больницы.

       Умер Георг Кантор от сердечной недостаточности 6 января 1918 г. в психиатрической лечебнице в Галле.

Парадоксы теории множеств породили кризис основ математики. Многие математики считали, что нужно отказаться от теории множеств. Но большинство математиков поддержало Д.Гильберта, заявившего: "Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор..."

Теория множеств оказала огромное влияние на развитие математики.

        Заслуженный профессор университета Нью-Йорка Джозеф Уоррен Даубен сказал: "Насколько велико бесконечное множество? Кантор доказал существование иерархии бесконечностей, каждая из которых «больше» предшествующей. Его теория множеств — один из краеугольных камней математики".

                                             Рассказывают, что…

• Природа бесконечности всегда была предметом спора. О том, что она интересовала ещё древних мыслителей, свидетельствуют знаменитые парадоксы Зенона Элейского, который доказывал, что движение мыслить невозможно, поскольку движущийся объект проходит бесконечное число точек в конечное время. Разработанное Ньютоном в XVII в. исчисление бесконечно малых позволило по-новому подойти к описанию движения, однако математически строгая формулировка инфинитезимальных идей была предложена лишь спустя два с лишним столетия. Впоследствии проблемы, связанные с бесконечностью, стали рассматриваться в теории множеств, ставшей по существу фундаментом современной математики. Следует отметить, что в ходе своего развития идея бесконечности имела теологический оттенок, порой игравший определённую роль в решении вопроса о приемлемости математических и философских теорий, связанных с понятием бесконечности. Всё сказанное имеет отношение к жизни и деятельности Георга Кантора.

• Сущность трудов Кантора хорошо известна: разработав то, что он назвал арифметикой трансфинитных чисел, он придал математическое содержание идее актуальной бесконечности. При этом он заложил основы теории абстрактных множеств и внёс существенный вклад в основание анализа и в изучение континуума вещественных чисел. Самое замечательное достижение Кантора состояло в доказательстве того, что не все бесконечные множества количественно эквивалентны, т.е. имеют одинаковую мощность, а потому их можно сравнивать друг с другом. Например, множество точек прямой и множество всех рациональных чисел являются бесконечными. Кантор сумел доказать, что мощность первого множества превосходит мощность второго. Идеи Кантора оказались столь неожиданными и противоречащими интуиции, что знаменитый французский математик Анри Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел «болезнью», от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Леопольд Кронекер — учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии — даже нападал на Кантора лично, называя его «шарлатаном», «ренегатом» и «растлителем молодежи».

• Философы и математики отвергали концепцию завершённых бесконечностей со времён Аристотеля главным образом вследствие тех логических парадоксов, к которым, как казалось, они приводят. Например, Галилей указывал, что если в математике принять бесконечные завершённые множества, то чётных чисел должно быть столько же, сколько чётных и нечётных вместе. Всякому чётному числу можно сопоставить целое число, равное половине его величины, таким образом налицо взаимно однозначное соответствие между элементами того и другого множества. Некоторые теологи, например, Фома Аквинский, также были против идеи завершённой бесконечности, считая её прямым вызовом единой и абсолютно бесконечной природе бога.

Чтобы избежать подобных возражений, математики стремились проводить чёткое различие между бесконечностью, рассматриваемой как завершённая величина, и бесконечностью, рассматриваемой как потенциальная, т.е. представляемой

Кантор с женой. (1880)

неопределённой суммой или рядом членов, стремящихся к некоторому пределу. Правомерной они считали лишь потенциальную бесконечность. В 1831 г. своё отношение к завершённым бесконечностям Карл Фридрих Гаусс выразил словами, которые Кантор однажды назвал слишком категорическими. В письме Генриху Шумахеру Гаусс писал: «Что касается Вашего доказательства, я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершённой, в математике это никак не допустимо. Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела».

Говоря о пределах, можно было избежать парадоксов, связанных с актуальными бесконечностями. Например, прибавляя дополнительные цифры к десятичному разложению числа π, можно аппроксимировать истинное значение π с возрастающей точностью. Однако Гаусс утверждал, что все члены десятичного разложения числа π не могут быть даны. Действительно, для точного определения π требовалось бы взять бесконечное число членов как что-то целое, другими словами, взять актуально бесконечное множество чисел — операция, которую Гаусс отказывался допускать.

Кантор не был одинок в изучении свойств континуума. В 1872 г., когда появилась его вышеуказанная статья, немецкий математик Рихард Дедекинд тоже опубликовал анализ континуума, основанный на бесконечных множествах. В своей работе Дедекинд явно высказал идею, позднее уточнённую Кантором: «Прямая бесконечно более богата индивидуумами-точками, чем область... рациональных чисел индивидуумами-числами». Сказанное можно представить следующим образом. Если на отрезке прямой рассмотреть распределение точек, соответствующих рациональным числам, то сколь бы малым ни был этот отрезок, на нём имеется бесконечно много рациональных точек. Суть идеи Дедекинда состояла в том, что, несмотря на плотность рациональных точек на отрезке прямой, на нём всё же найдётся место, чтобы вставить бесконечное число иррациональных точек. Такая иррациональная точка, как √2, попадает между рациональными точками, и таким образом множество рациональных чисел, хотя оно и всюду плотно, всё же разрежено, имеет «щели» и не является непрерывным.

          Утверждение Дедекинда верно отражало суть понятия континуума, за исключением одного важного аспекта. Взяв идеи Дедекинда за основу, нельзя установить, насколько бесконечное множество точек континуума превышает бесконечное множество рациональных точек. Великий вклад в решение этого вопроса был сделан Кантором, когда он в 1874 г. опубликовал свою статью «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел» в «Журнале чистой и прикладной математики» Августа Леопольда Крелле, называемом также журналом Крелле, — наиболее авторитетном среди математиков периодическом издании того времени.

         Используя принцип взаимно однозначного соответствия, Кантор показал, что свойство, которое Галилей рассматривал как парадоксальное, фактически является естественным свойством бесконечных множеств. Множество чётных чисел эквивалентно множеству всех целых положительных чисел, чётных и нечётных, вместе взятых, поскольку объединение в пары элементов каждого из этих множеств может быть осуществлено без опущения каких-либо элементов рассматриваемых множеств.

        Всякое множество чисел, элементы которого можно расположить один за другим или фактически сосчитать, используя множество целых положительных чисел, Кантор назвал счётным множеством. Он доказал, что взаимно однозначного соответствия между множеством целых чисел и множеством всех точек на прямой, т.е. множеством действительных чисел, быть не может; одним словом, действительные числа образуют несчётное множество (1874).