Корректное решение некорректных задач

Андрей Николаевич Тихонов родился 17 (30) октября 1906 года в городе Гжатске Смоленской губернии (ныне этот город носит имя Ю. А. Гагарина) в бедной семье. Семья Тихоновых состояла из 4-х человек. Отец Николай Васильевич Тихонов занимался торговлей, его жена Мария Николаевна и два сына — старший Николай, родившийся в 1905 году и младший Андрей. Разруха и голод послереволюционных лет заставили их переехать на Украину. Там Андрей поступил в школу, но учился он недолго: после переезда в Москву, 13-летний мальчик начал работать конторщиком на Белорусско-Балтийской железной дороге.

     Андрей Николаевич утверждал, что тот детский опыт впоследствии помог ему, когда через много лет пришлось продумывать вопросы построения автоматизированных систем управления.

      Образование Андрей продолжал на вечерних курсах. Здесь у него и возник интерес к математике. Толчком послужил урок, на котором учитель сформулировал теорему о том, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. Андрей искренне удивился, что здесь надо что-то доказывать, и самостоятельно выполнил нужное построение.

      Андрей начал самостоятельно готовиться к вступительным экзаменам на физико-математический факультет Московского университета. Ему мог бы помочь старший брат, но Андрей хотел всё постигать сам.

Успешно выдержав экзамены, он в шестнадцать лет стал студентом математического отделения факультета. Обязательных курсов не хватало для того, чтобы утолить жажду знаний, и Андрей начинает слушать лекции Н. Н. Лузина по теории функций, которые пользовались на физмате огромной популярностью.

      Захотел он участвовать и в работе семинара, который проводился по традиции тех лет на квартире руководителя. Размеры комнаты ограничивали число участников, и первокурсник Андрей Тихонов с досадой обнаружил, что его нет в списке.

     В 19-летнем возрасте А. Н. Тихонов, получил несколько результатов, которые принесли ему мировую славу. Толчком к этим работам стало то, что студент 2-го курса Тихонов стал слушателем специального курса по топологии, который читал Павел Сергеевич Александров (впоследствии академик, глава Советской топологической школы). Александров ярко вёл занятия: он то яростно писал на доске формулы, то, жестикулируя, объяснял их смысл, при этом касался своего костюма и оставлял на нем густые меловые пятна, то вдруг останавливался посреди доказательства, поднимал кого-либо из слушателей и просил подсказки, что делать дальше. Неоднократно второкурсник “помогал” лектору, когда тот обращался к аудитории. Поэтому, когда П. С. Александров сообщил о начале работы семинара по топологии, Андрей Тихонов стал одним из активнейших участников.

Личные контакты с П. С. Александровым были прерваны уже в начале 3-го курса - Павел Сергеевич уехал в длительную командировку в Гёттинген, тогдашнюю математическую Мекку. Однако студенческий топологический кружок продолжал работу, тесная дружба связывала А. Н. Тихонова с членами кружка В. В. Немыцким, А. Н. Черкасовым (профессора МГУ впоследствии), Н. Б. Веденисовым (погиб во время Великой Отечественной войны).

       Шла оживленная переписка с Гёттингеном: Павел Сергеевич, уезжая, просил информировать его обо всём. И вот, студент 4-го курса А. Н. Тихонов сообщает в письме руководителю о полученных результатах. В те годы математических журналов в нашей стране было мало, выходили они редко, поэтому первые результаты Тихонова были опубликованы в 1925 году в немецком журнале “Mathematische Annalen”.

    Продолжая напряженную работу, А. Н. Тихонов вскоре пришёл к своему определению топологического или, как теперь принято говорить во всем мире, тихоновского произведения топологических пространств. Избранный способ определения казался не только неожиданным, но и парадоксальным, даже учитель поначалу встретил новое определение с большим недоверием.

       В 1929 году им было введено понятие тихоновского куба.

Впоследствии, оценивая работы Тихонова в эти годы по топологии, П.С. Александров отмечал три основные достижения. Первое - введение понятия топологии в произведении пространств. "Сейчас всякий математик, работающий в области топологии, алгебры или функционального анализа не только знает эту "тихоновскую" топологию, но с трудом себе представляет, как бы математика могла без нее обойтись - настолько классическим в полном смысле этого слова стало введенное понятие. А между тем в те времена, когда А.Н. Тихонов - в свои 20 лет - пришел к мысли именно так, а не иначе определить топологию в произведении пространств, избранный им способ ее определения казался не только неожиданным, но и совершенно парадоксальным... Я отлично помню, с каким недоверием встретил предложенное определение. Найти его, усмотреть его, действительно было настоящим открытием.

      Вторым открытием является теорема, утверждающая бикомпактность произведения любого семейства бикомпактных топологических пространств. Статистика показывает, что во всей теоретико-множественной топологии трудно найти теорему, столь часто применяемую, она занимает в настоящее время первое место по числу ссылок на нее в мировой литературе по топологии. Эта теорема была доказана в дипломной работе А.Н. Тихонова.

      Третьим топологическим открытием молодого ученого является введение вполне регулярных пространств и установление того факта, что вполне регулярные пространства, и только они, являются подпространствами бикомпактов. ...Установив этот замечательный факт, А.Н. Тихонов стал основателем теории бикомпактных расширений - одной из самых разработанных в настоящее время, важных и прекрасных глав общей топологии".

       Студенческие, а затем и аспирантские годы были для А. Н. Тихонова временем, когда он интенсивно познавал не только тонкости математики, но и окружающую жизнь во всем ее разнообразии. В эти годы Тихонов освоил английский, французский и немецкий языки (тексты он переводил с одного языка на другой, минуя русский язык). Многие часы были проведены в Третьяковской галерее и Московском музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. С тех пор, в каком бы городе ни был А. Н. Тихонов, он непременно посещал картинную галерею, исторический музей.

          Дома у А. Н. Тихонова была небольшая коллекция картин. Он особенно выделял небольшое полотно Б. М. Кустодиева из серии “Ярмарки”, изображающее зимний праздник, пейзаж В. К. Бялыницкого-Бирули и натюрморт М. Сарьяна. Сильнейшее впечатление на него произвело знакомство с древнерусской архитектурой и церковной живописью.

           Молодые математики участвовали в многочисленных походах. Был совершен пеший переход из Теберды (Ставрополье) через Большой Кавказский хребет и озеро Рица к Черноморскому побережью Кавказа. Одним из спутников А. Н. Тихонова был В. В. Немыцкий. С тех пор на карте появился пик Немыцкого и Тихонова.

         Вместе с А. Н. Колмогоровым и В. В. Немыцким были пройдены сотни километров по северным районам, мельчайшие подробности этого похода Андрей Николаевич с удовольствием вспоминал и в последние годы жизни.

Топология - один из наиболее абстрактных разделов математики, поэтому на простом языке невозможно объяснить суть теоремы, доказанной студентом А. Н. Тихоновым в дипломной работе и утверждающей, что тихоновское произведение любого числа бикомпактных пространств бикомпактно. Но статистика неопровержимо свидетельствует, что среди топологических теорем именно эта занимает первое место по числу ссылок на неё в мировой общематематической литературе. Теорема оказалась важной не только для топологии, но и для некоторых разделов функционального анализа, а также для целой области прикладной математики - динамического программирования. “Весьма правдоподобно, что это вообще самая важная теорема общей топологии” - утверждает Дж. Келли, автор известного учебника.

        Окончив аспирантуру (учёных степеней и диссертаций для их получения в то время не было), А. Н. Тихонов, наряду с преподаванием в МГУ, начинает работать в геофизическом институте, где впервые сталкивается с практическими задачами. С тех пор математическое творчество А. Н. Тихонова приобретает ярко выраженный прикладной характер.

       Первые работы нового сотрудника геофизического института были связаны с задачей определения исторического климата Земли. Результаты позволили установить, что вечная мерзлота действительно досталась нам в наследство от ледниковых периодов.

      Идеи, появившиеся в работе над задачами теплопроводности, были обобщены в докторской диссертации, защищенной в 1936 году. Развитая здесь математическая теория выходила далеко за рамки исходных задач и, в то же время, служила базой для новых прикладных исследований. Уже в 1939 году разработанные А. Н. Тихоновым методы были использованы для изучения свойств поверхности Луны.

      В 1936 году Андрей Николаевич становится профессором МГУ, а через год меняет место своей второй работы. В Москве создается Институт теоретической геофизики АН СССР. Инициатор создания и его директор - академик Отто Юльевич Шмидт, легендарная фигура в советской науке. В начале 20-х годов он был назначен наркомом финансов. По-видимому, это второй случай в истории, когда математик занимал подобный пост. Первым был Лаплас, министр внутренних дел при Наполеоне.

       Академик О. Ю. Шмидт хорошо понимал значение математических методов в прикладных исследованиях. Одним из первых он пригласил работать в новом институте молодого профессора А. Н. Тихонова, математика, которого к тому времени уже можно было считать и геофизиком.

       В возрасте 33 лет А. Н. Тихонов был уже признанным авторитетом в математическом мире, автором более ста научных работ. В 1939 году он становится членом-корреспондентом Академии наук СССР.

        В предвоенные годы А. Н. Тихоновым был выполнен цикл работ, связанный с расчетом динамики химических процессов. В форме, удобной для практического использования, было найдено решение задачи о сорбции газа. Постановка задачи была связана с созданием новых систем противогазов, в ту пору надо было считаться с возможностью химической войны.

        Вскоре после начала Великой Отечественной войны Институт теоретической геофизики, вместе с другими учреждениями Академии наук СССР, был эвакуирован в Казань. Из Казани основные подразделения Института были переброшены в Уфу. Андрей Николаевич вспоминал, что на одной из станций впервые за несколько дней удалось отоварить карточки в столовой. Все полученные 16 обедов были съедены за один раз.

         Институт разворачивал работы на территории Башкирии. От теоретических вопросов надо было срочно переходить к сугубо практическим. Тихонов в составе одной из экспедиций института непосредственно включился в полевые работы геофизиков.

      Здесь-то и появилось первое еретическое сомнение в справедливости табу, наложенного Адамаром на некорректные задачи: если их умеют “решать” нефтяники, то, возможно, и математики научатся. Надо попробовать.

       Время для работы над чисто математическими проблемами пришлось отрывать от сна. В конце 1943 года в Докладах Академии наук СССР появилась статья “Об устойчивости обратных задач”, в которой был изложен так называемый метод подбора.

          В 1948 г. по распоряжению правительства А. Н. Тихонов организовал Вычислительную Лабораторию для расчёта процесса взрыва атомной бомбы. Он также выполнил фундаментальные исследования по разработке теории и методике применения электромагнитных полей для изучения внутреннего строения земной коры (1950).

В короткое время была создана группа сотрудников, основой которой стали ученики и аспиранты Андрея Николаевича и, в первую очередь, А. А. Самарский, ставший ближайшим помощником А. Н. Тихонова по научной работе. Лаборатория была задействована в расчётных работах по процессу обжатия заряда атомной бомбы и её коэффициента полезного действия. Работа шла в контакте с группой физиков, в которую входили Я. Б. Зельдович, Ю. Б. Харитон, А. Д. Сахаров, Л. Д. Ландау, И. Е. Тамм. От отдела требовались надежное и по возможности быстрое решение уравнений, составленных физиками. Вычислительной математики, как науки, в то время еще не существовало, и каждый шаг был новым. Большинство в отделе составляли женщины-вычислители, многие из них прежде работали с Андреем Николаевичем в Институте теоретической геофизики АН СССР. Орудиями счета служили трофейные электромеханические машины «Мерседес».

В конце 40-х годов, когда начались разведочные работы на территории Западной Сибири, геофизики столкнулись со странной проблемой: данные глубинного электрического зондирования оказались нестабильными. Гипотеза приглашенного для консультаций А. Н. Тихонова состояла в том, что на результатах измерений сказывается естественное электромагнитное поле Земли. Первые результаты были опубликованы в 1950 году, их обобщение в 1953 году предложил французский исследователь Л. Каньяр. С тех пор в терминологию и практику геофизики вошла модель Тихонова-Каньяра.

               В 1948 году появилась статья А. Н. Тихонова “О зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра”. Из этой работы выросла теория сингулярных возмущений - целый раздел современной науки о дифференциальных уравнениях, как обыкновенных, так и в частных производных.

      В 1963 году из Математического института имени В. А. Стеклова выделяется Институт прикладной математики. Новым научным подразделением Академии наук СССР руководит академик Мстислав Всеволодович Келдыш. Только из некролога - М. В. Келдыш умер в 1978 году - стало общеизвестно, что он и был Главным теоретиком космонавтики. Начиная с 1947 года, он активно занимался теорией движения ракет и космических кораблей.

Превосходный организатор, М. В. Келдыш привлек к работе в Институте прикладной математики многих опытных и молодых специалистов. Его заместителем (с 1979 года - директором Института) стал Андрей Николаевич Тихонов. Один из отделов возглавил Александр Андреевич Самарский. Совместная работа А. Н. Тихонова и А. А. Самарского обогатила математику многими глубокими исследованиями.

         Фундаментальные исследования в области теоретических проблем вычислительной математики были выполнены А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским в 50-60-х годах. В вычислительную математику было введено понятие однородных разностных схем. Были созданы удобные и экономичные алгоритмы. Ученики А. А. Самарского существенно развили понятия однородности и консервативности, расширили области применения этих схем, решили много важных практических задач.

        Вызванному в Кремль А. Н. Тихонову было поручено возглавить выполнение всех расчетов, связанных с созданием водородной бомбы. Работа в отделе была поставлена таким образом, что каждый знал лишь то, что ему необходимо было знать. Сам Андрей Николаевич мог лишь догадываться о том, какой процесс описывают составленные физиками уравнения. От отдела требовалось надежное и, по возможности, быстрое решение этих уравнений. Вычислительной математики как науки в то время ещё не существовало, практически каждый шаг был шагом в неизвестность.

       Андрей Николаевич успевал в эти годы и руководить отделом, и читать лекции, и вести семинары в МГУ, и продолжать фундаментальные исследования в области геофизики и теории дифференциальных уравнений с малыми параметрами, и работать над учебником “Уравнения математической физики”.

        Утром 12 августа 1953 года на командном пункте полигона в Средней Азии, отдаленном от места взрыва на многие десятки километров, собрались члены правительства, военные, учёные. Был среди них и Андрей Николаевич Тихонов. Испытания прошли успешно. В расчётах отдела А. Н. Тихонова ошибок не было. Исключительные заслуги А. Н. Тихонова перед государством при выполнении этого задания правительства были отмечены Государственной премией СССР и званием Героя Социалистического Труда.

     Американским специалистам удалось создать бомбу, пригодную для военных целей, к марту 1954 года.

     Создание А. Н. Тихоновым методов устойчивого решения широкого класса некорректных задач считается одним из наиболее ярких достижений современной математики. Появилось новое направление, значительно расширившее возможности применения математических моделей в науке и технике. Над ними продолжают работать математики во всем мире.

      1 июля 1966 года Тихонов избран академиком АН СССР в отделение математики по специальности «Математика».

         Теоретики и конструкторы первого советского рентгеновского компьютерного томографа СРТ-1000, предназначенного для исследований головного мозга, поставили перед собой задачу создать более совершенную установку, чем имеющиеся к тому времени образцы. Работой руководили академик А. Н. Тихонов и профессор И. Б. Рубашов. Разработанные А. Н. Тихоновым и его учениками общие принципы позволяют производить различные модификации компьютерных томографов, не меняя при этом существа математического обеспечения.

        Андрей Николаевич поклонялся двум божествам. Одно из них – Математика, другое – Семья.

      Со своей будущей женой Андрей Николаевич познакомился в 1931 году на турбазе Дома учёных в Теберде. Наталья Васильевна, выпускница МГУ, филолог по образованию, отдыхала там в санатории. Весь санаторий знал, что в палатке на берегу Бадукского озера живут бритые московские математики (в ту пору борода считалась почти необходимым признаком принадлежности к учёному миру), которые купаются в ледяной воде и что-то строчат на пишущей машинке. Это были П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, В. В. Немыцкий и А. Н. Тихонов. Следующая встреча произошла только через год, на турбазе в Хибинах, затем последовали частые свидания в Москве. В свадебное путешествие Наталья Васильевна и Андрей Николаевич отправились на русский север, к Кирилло-Белозерскому монастырю.

        У Тихоновых четверо детей – две дочери и два сына. Андрей Николаевич, несмотря на занятость, много занимался с детьми, развивая в них интерес к математике и изобразительному искусству, истории и литературе, туризму и альпинизму.

Человек неприхотливый и равнодушный к материальным благам, он боялся, что достаток в семье может избаловать детей. Им всегда покупалась самая обычная одежда, билеты в театр или консерваторию брались подальше, повыше, подешевле. Все, кто знал семью Тихоновых, отмечали, что родители сумели передать детям скромность, трудолюбие, доброту и подлинную внутреннюю культуру.

     Когда ему стало более 70 лет, он перестаёт ездить в отпуск в поездки, и активной формой его отдыха становиться работа на дачном участке. Последние лет тридцать у Андрея Николаевича и Наталии Васильевны был установлен строгий порядок на неделе, от которого они отклонялись лишь в крайних случаях. А именно, они выезжали на дачу вечером в пятницу и возвращались в Москву в понедельник утром. Андрей Николаевич обычно проезжал прямо на работу. Он был ярко выраженной "совой" и его активность возрастала ко второй половине дня и началу ночи.

      Андрей Николаевич точно нашёл свое призвание в жизни, и научная работа составляла основу его существования. Хорошо сложилась и его семейная жизнь. Он и Наталия Васильевна были людьми очень разными по своему характеру, образованию и темпераменту. Но в течение долгой совместной жизни они хорошо дополняли друг друга, относились друг к другу с большим уважением, были неприхотливыми в быту людьми.

       Когда пришло время, Наталья Васильевна и Андрей Николаевич помогали воспитывать 11 внуков. И маленькие, и большие любили приходить к дедушке. С детьми и внуками Андрей Николаевич неоднократно “проходил” школьный курс математики. Естественно, что он не мог не выразить своего отношения к изменениям, которым программа этого курса подверглась в середине 70-х годов.

       Он стал инициатором документа, известного как письмо десяти академиков. Подписанное такими математиками, как Н. Н. Боголюбов, И. М. Виноградов, М. В. Келдыш, А. Н. Тихонов, оно призывало отказаться от недостаточно продуманных экспериментов в столь важном для всей страны деле, как школьное образование. Отделение математики АН СССР согласилось с авторами письма и создало несколько групп, которым на конкурсной основе было поручено продумать основные концепции школьного курса математики и подготовить новые учебники.

Одну из групп возглавил А. Н. Тихонов. В нее вошли ближайшие ученики. Группа разделилась на две части, одни занялись алгеброй, другие – геометрией. Формально Андрей Николаевич не считался автором этих учебников, но в их создание он вложил весь свой опыт. На конкурсе учебник по геометрии, представленный группой А. Н. Тихонова, занял первое место, высокую оценку получил и учебник по алгебре.

       В молодости Андрей Николаевич предпочитал проводить свободные дни в походах, спутниками его всегда были коллеги, математики. В беседах у туристического костра нередко рождались идеи, из которых потом строились новые теории.

       В последние годы жизни Андрею Николаевичу стало трудно ходить в походы. Он перестал использовать положенные ему длинные отпуска и путевки в санатории. Проведя на даче 2-3 недели, он начинал скучать по работе, ученикам и уезжал в Москву. Отдых, перерыв в работе для Андрея Николаевича состоял в том, чтобы побыть с внуками или, взяв новые тома Н. М. Карамзина, С. М. Соловьева, публикации, посвященные тысячелетию крещения Руси, погрузиться в далекую историю. Коллеги и ученики знали, что с 2100 до 2200 А. Н. Тихонову звонить не стоит, он смотрит “Новости”. Впрочем, у Натальи Васильевны не было уверенности, что при этом он полностью переключался на последние известия. Ей казалось, что и у телевизора Андрей Николаевич продолжал думать о своей математике.

       Работая в МГУ, А. Н. Тихонов в разные годы возглавлял кафедры высшей математики физического факультета, вычислительной математики механико-математического факультета.

       В 1970 году 64-летний учёный выступает с инициативой создать в Московском университете особый факультет для самого «модного» научного направления — кибернетики, ещё недавно числившейся в списке «лженаук». Его активно поддержал «гуру» советской науки Мстислав Келдыш, и Тихонов стал первым деканом ВМК, одновременно заведуя на том же факультете кафедрой вычислительной математики.

      Совмещение должностей декана факультета ВМК и директора Института прикладной математики им. М. В. Келдыша отнимало у А. Н. Тихонова много времени. Известный советский математик академик Л. С. Понтрягин как-то спросил у Андрея Николаевича, зачем ему это нужно. Декан и директор ответил, что таким образом ему без всяких согласований удается сразу погрузить студентов в атмосферу серьезной научной работы, привлечь к преподаванию лучших научных сотрудников, пополнять Институт наиболее талантливыми выпускниками факультета.

         По отношению к своим ученикам Андрей Николаевич был одновременно и добрым и беспощадно требовательным. Он умел заранее определить “потолок” каждого из них и заставлял максимально выкладываться до тех пор, пока этот “потолок” не будет достигнут. Ученики знали, что Андрея Николаевича устраивали только исчерпывающие результаты. Он не только учил студентов математике. Он рассказывал об истории и импрессионизме, гулял по Москве и ходил вместе с ними в походы. Тихонов – автор и соавтор более 500 публикаций (статей, учебников и монографий). Он — основатель большой научной школы. Среди его учеников ряд действительных членов и членов-корреспондентов РАН, более 50 докторов и более 200 кандидатов наук.

      Андрей Николаевич был человеком очень цельным. Он никогда дома «на кухне» не говорил одно, а «на людях» — другое. Будучи безусловно патриотически настроенным и лояльным человеком, много работая по закрытой тематике, тем не менее, он никогда не был членом партии.

      В 1955 году А. Н. Тихонов подписал «письмо трехсот», направленное против лысенковщины в науке. Он входил в число четырёх академиков (Прохоров, Скрябин, Тихонов, Дородницын), подписавших открытое письмо 1983 года с осуждением Андрея Сахарова.

     А.Н.Тихонов – дважды Герой Социалистического Труда. В 1953 году ему было присвоено это звание за «исключительные заслуги при выполнении специального задания Правительства», в 1986 году – за выдающиеся заслуги в развитии математической науки и подготовке научных кадров и в связи с 80-летием. Шесть раз был награждён орденом Ленина, трижды орденом Трудового Красного Знамени, орденом Октябрьской революции (1975) — в связи с 250-летием Академии Наук, Золотой медалью АН СССР имени М. В. Келдыша (1990) — за цикл работ «О методах регуляризации широких классов неустойчивых задач математической физики». Удостоен Сталинской премии (1953) — за работы по атомному проекту, Государственной премии СССР (1976),Ленинской премии (1966), премии Совета Министров СССР (1981), премии имени М. В. Ломоносова I степени (1963) — за работу «О решении некорректно поставленных задач».

          Скончался А.Н.Тихонов вечером 7 октября 1993 года в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.

       Андрей Николаевич работал в МГУ с 1929 г., был директором Института прикладной математики им. М.В. Келдыша АН СССР (1979–1989). Заслуженный профессор Московского университета (1993). В 1997 г. мемориальная доска с его именем открыта на здании 2-го учебного корпуса гуманитарных факультетов МГУ, а в 2006 г. – на здании Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. В МГУ учреждены 6 стипендий им. А.Н.Тихонова для студентов факультета вычислительной математики и кибернетики, механико-математического и физического факультетов (2002). Имя «Тихонов» присвоено (2002) малой планете Солнечной системы № 9565, открытой 18 сентября 1987 г. В 2003 г. на факультете вычислительной математики и кибернетики открыта аудитория № 685, носящая имя Тихонова.

     В мировой математике имя Андрея Николаевича связывается прежде всего с теорией некорректных задач. По существу, роль так называемых обратных задач в познании мира была осознана ещё Платоном. Он предложил миф о пещере - этакий мысленный эксперимент. Прикованные в пещере люди видят только тени предметов, которые проносят мимо входа, или проходящих вблизи пещеры людей. Спрашивается, насколько адекватны будут представления узников об окружающем мире? Этот миф в метафорической форме отражает типичную ситуацию, возникающую при обработке результатов экспериментов. Несовершенство приборов и органов чувств вновь и вновь ставит исследователей в положение узников пещеры.

     Фундаментальные результаты были получены им в области математической физики, теоретической геофизики, моделирования физико-химических процессов.

А.Н. Тихонов является основоположником крупного направления в асимптотическом анализе - теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений.

        На каком бы посту Александр Николаевич ни находился, чем бы ни занимался, он всегда оставался настоящим Учёным и Человеком, умеющим комплексно видеть ситуацию, определять задачи и способы их решения, имеющим принципиальную позицию и всегда готовым её отстаивать и при этом быть справедливым.