К 180-летию со дня рождения Камиля Жордана

Камиль Мари Эдмон Жордан (Jordan) – французский математик. Родился 5 января 1838 г. в Круа-Русс близ Лиона. Получил среднее образование, затем окончил специальный математический класс в Лионском лицее и в 1855 г. поступил в Политехническую школу. По окончании её он продолжил обучение в Горной школе (Ecole des mines).

По выходе из Горной школы в 1861 г. он в течение ряда лет работал в качестве инженера и лишь в 1873 г. был приглашен на должность экзаменатора по анализу в Политехническую школу. Через три года его назначили профессором анализа; с 1875 г он начал читать лекции и в Коллеж де Франс. Обе эти должности он занимал до выхода в отставку в 1912 г.

С 1885 по 1922 г. он был директором одного из основных математических органов Франции — «Журнала чистой и прикладной математики», основанного в 1836 г. и существующего до настоящего времени (Journal de mathematiques pures et appliquees).

Жордан – член Парижской Академии Наук (1881г.). Работы Жордана относятся к алгебре, теории чисел, теории функций, геометрии, топологии, дифференциальным уравнениям, кристаллографии.

Научной работой Жордан начал заниматься со времени пребывания в Горной школе. Круг его интересов был очень многообразным: кинематика в трехмерном пространстве и в пространствах большего числа измерений, проблема устойчивости, геометрическая вероятность, теория чисел, теория групп, дифференциальные уравнения, общий анализ. Небезынтересно, что, консерватор по воспитанию и убеждениям, Жордан был подлинным революционером в науке. Характерен эпизод из переписки Жордана с Эрмитом, описанный А. Лебегом. В одном из писем Жордан упрекнул Эрмита за то, что последний не прочел его мемуар, представленный Академии наук. Эрмит на это ответил, что труды Жордана слишком трудны, чересчур абстрактны и что он готов подать в отставку, если ему вменят в обязанность читать их. Действительно, Эрмиту, воспитанному на традициях математики первой половины XIX в., трудно было воспринимать то, что создавалось во многом в результате трудов Жордана.

Традиционный, восходящий к Ньютону и Лейбницу, особенно развитый Эйлером, взгляд на интегрирование как на обращение операции дифференцирования был, несомненно, преобладающим в XIX столетии. Отход от этого взгляда можно в какой-то мере заметить у Коши, у Дирихле, у Римана и у ряда других математиков прошлого века. Но он был выражен слишком робко, чтобы стать устойчивой системой взглядов. В некотором смысле он не стал таковым и сегодня, но тенденция к превращению операции интегрирования в первичную по отношению к дифференцированию операции анализа в настоящее время достаточно очевидна, и одним из предвестников этой тенденции был Жордан. Как писал Лебег, «размышления заставили его признать интеграл за самое простое, самое интуитивное, самое первоначальное понятие из всех понятий анализа».

Одобрение, высказанное Жорданом зачинателям французской школы теории функций, в частности Лебегу, было очень важным, и тот писал, что Жордан «оказал новой школе неоценимую поддержку, с лихвой компенсировавшую немногие нападки, которые ей пришлось перенести». Новаторский дух его собственных трудов, видимо, способствовал правильному пониманию новаторства молодого поколения, пошедшего дальше по пути, намеченному во Франции самим Жорданом.

В 1870г. Жордан написал "Трактат о подстановках", который привлёк всеобщее внимание к теории групп как к незаменимому инструменту исследований в теории уравнений. Именно этот "Трактат" открыл миру Эвариста Галуа и созданную им теорию. Жордан разъяснил и дополнил весьма краткие и сжатые исследования Э.Галуа и сделал их достоянием широких математических кругов.

Работы Жордана не отличались многословием. Это относится не только к "Трактату о подстановках", но и к его знаменитому трёхтомному "Курсу анализа" (1882-1887). Эти работы служат примером большой сжатости и чёткости изложения, что делает их трудными для чтения. По мнению некоторых математиков, огромная ценность идей, содержащихся в работах Жордана, соответствовала трудности их понимания.

Аскетизм, присущий Жордану в математике, был также отличительной чертой и в его частной жизни. Он был владельцем гостиницы в предместье Парижа, но занимал в ней только один кабинет. Здесь было всё, что ему требовалось для работы: небольшое количество скромной мебели, книги, чёрная доска для записей.

Жордан не любил посетителей, поэтому принимал своих гостей очень неласково. Вместе с тем, Д.Гильберт, посещавший Жордана в Париже, отмечал его приветливость, доброту. Показательно и письмо Жордана робкому Г. Минковскому, где он пишет: "Молю Вас, работайте, чтобы стать великим математиком".

С именем Жордана связана теорема Жордана-Гёлдера о композиционных рядах групп, нормальная (жорданова) форма матриц, кривая, теорема, мера и др. Жордан ввёл понятие функции с ограниченным изменением. Он изучал линейные группы и их подгруппы, ввёл понятие факторгруппы, первый исследовал бесконечные группы.

Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Карлу Вейерштрассу, Фердинанду Георгу Фробениусу и Мари Энмону Камиль Жордану. Современное название "матрица" было введено Джеймсом Сильвестром в 1850 году.

В качестве самостоятельного раздела математики теория групп начала оформляться в конце восемнадцатого века. Поначалу она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений, теория групп совершила огромный скачок, который впоследствии оказал значительное влияние на развитие всей математики.

Галуа исследовал проблему, решение которой с шестнадцатого века не давалось лучшим математикам: опираясь на работы Нильса Абеля, он дает полный ответ на вопрос о разрешимости алгебраических уравнений любых степеней в радикалах. Также он переносит центр тяжести исходной задачи на методы её решения.

Долгое время идеи Галуа терпят неудачи. В Парижской академии наук дважды теряют его рукописи. В очередном варианте работы не могут разобраться рецензенты-академики. А сразу после смерти чудом уцелевший окончательный вариант работы не принимает к публикации ни один научный журнал.

И лишь спустя 35 лет после смерти Галуа, его идеи получили признание. В 1846 году Ж. Лиувилль опубликовал в своём журнале работу Галуа. Однако, она была оценена по достоинству не сразу. Первым, видимо, понял её значение Камиль Жордан. Но широкому проникновению идей теории групп в математику наука обязана ученикам Жордана, двум начинающим математикам: Феликсу Клейну и Софусу Ли. Феликс Клейн из Бонна и Софус Ли из Норвегии в последующем продолжили работу Жордана: Клейн в области дискретных групп, а Ли – в области непрерывных групп.

О К. Жордане говорили, что если ему нужно было ввести в работе четыре аналогичные или родственные величины (такие, как, например, а, b, с, d), то они у него получали обозначения a1, M'3 , E2, П"1,2.

В геометрии Жордан исследовал вращения n-мерного пространства, формулы Френе в n-мерном пространстве, дал определение линии. Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объёма в n-мерном евклидовом пространстве.

Определить, где находится точка — внутри или снаружи некой фигуры — иногда очень просто, а иногда сделать это сложнее. При поиске ответов на подобные вопросы используют простой, но мощный инструмент. Окружность является плоской замкнутой кривой, то есть имеет внутреннюю и внешнюю части. Она является замкнутой (простой) кривой и не имеет самопересечений.

Кривые, которые удовлетворяют этим двум условиям (являются простыми и замкнутыми), называют кривыми Жордана.

Все кривые Жордана топологически эквивалентны, так как их можно получить непрерывной деформацией окружности. Является точка внешней или внутренней по отношению к кривой — это топологическое свойство. Следовательно, если мы изучим это свойство для окружности, то оно будет полностью аналогичным для всех кривых Жордана вне зависимости от их сложности.

В своем знаменитом «Курсе анализа», опубликованном в 1882 году, Жордан доказал знаменитую теорему: плоская простая замкнутая кривая разбивает плоскость на две связные компоненты и является их общей границей.

Однако его доказательство содержало ошибки, которые сам Жордан, несмотря на все усилия, не смог исправить. Первое полное доказательство теоремы принадлежит О.Веблену и появилось только в 1905 году, а в 1922 году Джеймс Александр доказал её для пространств с произвольным числом измерений.

Теорема Жордана обладает двумя свойствами, которые почти никогда не встречаются одновременно и тем самым делают её уникальной: эта теорема очевидна и одновременно сложна. Она очевидна, так как любой из нас может не просто понять ее формулировку, но также интуитивно почувствовать, что теорема верна. Она сложна, поскольку её точное доказательство занимает множество страниц, на которых теряется интуитивно понятный геометрический смысл теоремы. Также существуют короткие доказательства (одно из них занимает две строчки), но они требуют знаний топологии.

В статьях, печатавшихся во французских и итальянских математических журналах, Жордан рассматривал группы движений многогранников, линейные дифференциальные уравнения, арифметическую теорему квадратичных форм, теорию групп. Жордан был членом-корреспондентом Петербургской АН (1895). По 3-томному "Курсу анализа" Жордана в Петербургском университете изучали дифференциальное и интегральное исчисления, а также приложения анализа к геометрии.

Камиль Жордан был Почётным председателем VI Международного Конгресса математиков, который состоялся в 1920 году в Страсбурге.

Умер Камиль Жордан в ночь с 21 на 22 января 1922года в Париже.

Как отметил выдающийся английский математик Дж.Сильвестр, Жордан занимался самыми трудными, требующими больших усилий и самоотверженности математическими проблемами.

В его честь названы Астероид 25593 Камильжордан и Институт Камиля Жордана при Университете Лион-1.