В ГЕОМЕТРИИ НЕТ «ЦАРСКОЙ ДОРОГИ»

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

        После смерти Александра Македонского его огромная империя распалась. Египтом стал править Птолемей I Сотера. Он основал в Александрии знаменитую библиотеку, насчитывавшую около 700.000 томов. В Александрии — городе, заложенном Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила – в те времена жили Евклид, Эратосфен, Аполлоний. К этой же математической школе принадлежал и Архимед, хотя он жил в Сиракузах.

        Царь Птолемей I сделал Александрию столицей Египта; чтобы возвеличить свое государство, он привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них Мусейон — храм муз.

      В этот период геометрия отделяется от философии и достигает совершенства.

         О жизни Евклида (Эвклида) (др.-греч.Εὐκλείδης, от «добрая слава») (Ш в. до н.э.) известно очень мало. Проблемой является даже имя Евклида. Существует две основных версии того, где он родился. Согласно первой - в Афинах, согласно второй – в Тире (Сирия).

Евклид родился на 205 лет позже Пифагора, на 63 года – Платона, на 33 – Евдокса, на 19 – Аристотеля. Он познакомился с их философскими и математическими трудами либо самостоятельно, либо через посредников.

Учителем его был Платон. По приглашению Птолемея I он переехал в Александрию. Совершенно непонятно, как сложилась личная жизнь Евклида, был ли он женат, имел ли потомков. Существует предположение, что он организовал и открыл собственную частную школу при богатой Александрийской библиотеке, что может свидетельствовать о его состоятельности. Считается, что и после завершения обучения в этом заведении, наставник всегда помогал своим подопечным с разработкой теорий и написанием собственных научных трактатов.

Точных данных о внешности ученого нет. Его портреты и скульптуры – это плод воображения их создателей, придуманный образ, передававшийся из поколения в поколение.

По свидетельству математика и инженера эпохи позднего эллинизма Паппа Александрийского (Ш в.н.э.) Евклид был человеком очень скромным и независимым, был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук.

Рассказывают (Прокл), что однажды Птолемей спросил Евклида: "Нет ли в геометрии более короткого пути, чем тот, который предложен Евклидом в его книгах?". На это Евклид ответил, что для царей нет особого пути в геометрии.

Евклид ( от др.-греч. «добрая слава», время расцвета) был великим педагогом - энциклопедистом. Он преподавал в Мусейоне в Александрии. Мусейон - настоящий дворец науки с библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом, зоопарком. Евклид преподавал геометрию, арифметику, астрономию. Вместе с ним работали известные учёные, получавшие за свою работу хорошее вознаграждение.

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но всё это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема. Евклид привёл в строгую логическую систему весь богатый геометрический материал, известный к тому времени. Сделал он это в „Началах”, состоящих из 13 книг. „Начала” составили целую эпоху в развитии геометрии. Ещё и теперь геометрию в школах изучают под большим влиянием „Начал”. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако "Начала" Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

В „Началах” дан образец дедуктивного построения геометрии на основе указанной системы аксиом и других достоверных истин.

Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

Из постулатов Евклида видно, что Евклид представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трехмерное. Бесконечность и безграничность пространства предполагается такими постулатами Евклида, как тезисы о том, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую (отрезок) можно непрерывно продолжить по прямой, что из всякого центра и всяким раствором циркуля может быть описан круг.

Особенно знаменит пятый постулат Евклида, который буквально звучит так: «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Более привычная для нас формулировка: «Через данную точку можно провести лишь одну параллельную к данной прямой» – принадлежит Джону Плейферу (1749-1819).

Не раз делались попытки доказать пятый постулат Евклида (Птолемей, Насир аль-Дин, Ламберт, Лежандр). Наконец, Карл Гаусс высказал в 1816 г. гипотезу, что этот постулат может быть заменен другим. Эта догадка была реализована в параллельных исследованиях независимо друг от друга Н. И. Лобачевским (1792–1856) и Яношем Больяи (1802–1866). Однако оба эти исследователя (и русский, и венгерский) не получили признания других математиков, особенно тех, кто стоял на позициях кантовского априоризма в понимании пространства, который допускал только одно пространство – евклидово.

Только Бернхард Риман (1826–1866) своей теорией многообразий (1854) доказал возможность существования многих видов неевклидовой геометрии. Сам Б. Риман заменил пятый постулат Евклида на постулат, согласно которому вообще нет параллельных линий, а сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых.

Феликс Клейн (1849–1925) показал соотношение неевклидовых и евклидовой геометрий. Евклидова геометрия относится к поверхностям с нулевой кривизной, геометрия Лобачевского – к поверхностям с положительной кривизной, а геометрия Римана – к поверхности с отрицательной кривизной.

В I книге «Начал» изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строятся чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел.

В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть "Начал", строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

От этого труда идут известные каждому учившему математику слова „что и требовалось доказать”.

Евклид в „Началах” придерживается аристотелевских принципов построения науки. Согласно Аристотелю, необходимо разъяснять сущность вводимых понятий, определение ещё не гарантирует существование определяемого объекта, это надо ещё доказать.

Евклид в „Началах” следует такой форме изложения: сначала разбирается в общем виде данное предложение, затем следуют замечания, относящиеся к фигуре, потом проводятся все необходимые для доказательства и построения вспомогательные линии и, наконец, делается заключение, которое выражается словами: „что и требовалось доказать ” (если доказывалось утверждение) или словами „что и требовалось сделать” (в задаче на построение).

Труд Евклида справедливо считают образцом дедуктивной системы, строго выдерживающей изложение, исходящее из общих положений и идущее от них к частным. Однако это обстоятельство вовсе не означает, будто другой элементарный метод исследования, всегда неразрывно связанный с дедукцией; индукция в "Началах" отсутствует. Индукция, движение от частного к общему, от единичных данных чувственного опыта к рациональному обобщению, к абстракции неизбежно участвовала в образовании основных понятий, их определений, постулатов и аксиом, равно как и в создании самого логического приёма дедукции.

Построения, допускаемые постулатами, предполагают линейку без делений, не разрешающую измерения расстояний. Ею можно пользоваться лишь для соединения двух точек или продолжения отрезка. Циркуль предназначался только для описания из выбранной точки, как из центра, окружности определенного радиуса, а не для переноса отрезка данной длины.

Ограничения, наложенные на употребление линейки и циркуля, были, по-видимому, связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Эти ограничения не только усложнили выполнение построений, но, главное, привели к тому, что в "Начала" не были включены те геометрические теории, которые требовали либо "вставок", либо других линий, отличных от прямой и окружности. Именно поэтому здесь не излагалась теория конических сечений, хотя она была в те времена достаточно развита. Но в "Начала" не вошла также и логистика - учение о практических вычислениях, - так как считалась скорее ремеслом, чем наукой.

Многие историки математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями. Однако Евклид вовсе не пренебрегал изучением конических сечений, а написал о них отдельное сочинение.

Евклид писал „Начала” только для научных целей, а не для применения их в практических целях.

В „Началах” не упоминается об измерении площадей и объёмов, даётся только их сравнение. Например, не указано как найти площадь треугольника, но имеется теорема о том, что треугольник равновелик половине параллелограмма с теми же основанием и высотой. В „Началах” отсутствуют сами слова „длина”, „площадь”, „объём”. Поэтому там говорится не о „квадрате стороны", а о квадрате, построенном на стороне", не о „произведении двух отрезков”, а о „прямоугольнике, построенном на двух отрезках”.

В своих „Началах” Евклид отразил три великих открытия греческих математиков: теорию отношений (Евдокс), теорию иррациональностей (Теэтет), теорию пяти правильных многогранников (Платон).

После Библии, „Начала” - наибольшее число раз изданная и бо-лее всего изучавшаяся книга. Логическое построение „Начал” повлияло на научное мышление больше, чем какое бы то ни было другое произведение. С 1482 г. эта книга выдержала более 500 изданий на всех языках мира.

В древние времена философия была тесно сплетена со многими другими отраслями научных знаний. Так, геометрия, астрономия, арифметика и музыка считались математическими науками, понимание которых необходимо для качественного изучения философии. Евклид развивал учение Платона о четырех элементах, которым приводятся в соответствие четыре правильных многогранника: стихию огня олицетворяет тетраэдр; воздушной стихии соответствует октаэдр; стихия земли ассоциируется с кубом; водная стихия связывается с икосаэдром.

В этом контексте «Начала» можно рассматривать как своеобразное учение о построении «платоновых тел», то есть пяти правильных многогранников. Учение содержит все необходимые предпосылки, доказательства и связки. Доказательство возможности построения таких тел завершается утверждением того факта, что никаких других правильных тел, за исключением данных пяти, не существует.

Практически каждая теорема Евклида в «Началах» соответствует также показателям учения о доказательстве Аристотеля. Так, автор последовательно выводит следствия из причин, формируя цепочку логических доказательств. При этом он доказывает даже утверждения общего характера, что также соответствует учению Аристотеля.

Есть доказательства того, что при Александрийской библиотеке этот древнегреческий ученый основал частную математическую школу. В ней учились такие же энтузиасты науки, как и сам Евклид. Даже на закате своей жизни Евклид помогал ученикам в написании работ, создании собственных теорий и разработке соответствующих доказательств.

Возникновение евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире. В трудах Евклида дано систематическое изложение евклидовой геометрии, система аксиом которой опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой на плоскости", "точка лежит между двумя другими". В современном изложении систему аксиом евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.

I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A' и полуплоскости a, a', ограниченные продолженными полупрямыми а, а', которые исходят из точек А, A', то существует движение, и притом единственное, переводящее А, а, a в A', a', a' (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

С современной точки зрения система аксиом и постулатов Евклида недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические недостатки построения «Начал» полностью выяснились лишь в конце 19 века после работ Д. Гильберта. До этого на протяжении более двух тысяч лет «Начала» служили образцом научной строгости.

Геометрия, изложенная в "Началах" Евклида, не может считаться единственной описывающей свойства пространства, окружающего нас. Развитие естествознания (в первую очередь астрономии и физики) показало, что она описывает его структуру только с определенной точностью. Кроме того, её нельзя применять для всего пространства в целом. Евклидова геометрия – это первое приближение к пониманию и описанию его структуры.

В строгом смысле слова Евклида нельзя считать «отцом геометрии». Свои «Начала» были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. «Начала» были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский...

Однако Евклид – не простой передатчик сделанного до него математиками. В «Началах» Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно.

Математика Евклида – вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно «Начала» Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с афинским Парфеноном.

Существовала легенда, что сам Евклид – не единственный автор дошедших до нас «Начал», что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой «Начал». Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций.

«Начала» Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца XII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского – на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой «Оптикой». Однако затем последовала масса переводов и комментариев на «Начала». Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеции. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем латинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Кроме „Начал” до нас дошли и некоторые другие произведения Евклида: „Данные”, где алгебраические задачи решаются геометрическими методами; „О делении фигур”, где рассматриваются задачи на построение; „Феномена” - астрономическое сочинение.

Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях «Оптика» и «Катоптрика». Основное понятие геометрической оптики — прямолинейный световой луч. Евклид утверждал, что световой луч исходит из глаза (теория зрительных лучей), что для геометрических построений не имеет существенного значения. Он знает закон отражения и фокусирующее действие вогнутого сферического зеркала, хотя точного положения фокуса определить ещё не может. Во всяком случае, в истории физики имя Евклида как основателя геометрической оптики заняло надлежащее место.

Евклид написал удивительную книгу „Псевдария”. В книге были всякого рода ошибочные рассуждения, которые может сделать самостоятельно занимающийся математикой, а в особенности геометрией, юноша. Полезной умственной гимнастикой в трудном искусстве мышления было отыскание ошибок в приведённых рассуждениях. До нас этот труд Евклида не дошёл.

О преданности Евклида науке говорит такой рассказ. Один из новых учеников Евклида спросил его, что он будет иметь, если выучит все сведения по геометрии. Евклид в ответ велел заплатить ему три обла (мелкая монета), если уж он хочет заработать деньги своим учением.

Римляне к математике относились с презрением. По словам Цицерона (106-43 г.г. до н.э.), "греки более всего почитали геометрию; соответственно, в математике они достигли величайших успехов. Однако мы, действуя в пределах этого искусства, извлекли из математики пользу, приспособив её для измерений и вычислений". Действительно, в сочинениях греков доказывалось равенство абстрактных треугольников, у римлян же речь идёт о вычислениях глубины реки, расстояния до другого берега, где находятся войска неприятеля,…Греки дали миру великих математиков: Фалеса, Пифагора, Евдокса, Евклида, Архимеда, Диофанта, а римляне – ни одного. Римляне ценили удобства и вели войны, их не интересовали красота и истина.

В честь него названы космический летательный аппарат для изучения геометрии темной материи, город в США, алгоритм для получения традиционного музыкального ритма и многие математические открытия более позднего времени. В 1935 году группа английских астрономов назвала в честь Евклида кратер на видимой стороне Луны диаметром 11 км (7.4°S 29.5°W).

Однажды он сказал:

— Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.

— То, что принято без доказательств, может быть отвергнуто без доказательств.

— При некоторых необычных и весьма таинственных обстоятельствах отдельные чётные числа ведут себя как нечётные.

— Для тирана и для могущественного города, господствующего над другими городами, всё, что выгодно, то и разумно.

Задачи Евклида

1. На данной конечной прямой (отрезке) АВ построить равносторонний треугольник.

2. Разделить произвольный угол на две равные части.

3. Построить параллелограмм, стороны которого наклонены под данным углом, так, чтобы он был равновелик данному треугольнику.

4. В данный круг вписать треугольник, равноугольный данному треугольнику.

5. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке (задача о золотом сечении).

6. Доказать, что простых чисел существует бесконечное множество.

Рассказывают, что

• В рукописи XII века сказано: „Евклид, сын Наукрата, сын Зенарха, известный под именем Геометра, учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира”.

Предположительно он родился в 330 году до н.э.

• По-гречески знаменитое произведение Евклида называлось „Stoicheia”. Оно было напечатано (1482 г.) спустя всего лишь три года после изобретения Гуттенбергом книгопечатания. Являясь средством тренировки в области логического мышления, „Начала” значили больше, чем любой из трактатов Аристотеля по логике. „Начала” – выдающийся пример законченной дедуктивной структуры. Эта книга до сих пор не перестаёт восхищать мыслителей.

• Признав теорию относительности Эйнштейна, учёные пришли к выводу, что геометрия Евклида в условиях истинной Вселенной не всегда бывает точной. Например, вблизи чёрных дыр и нейтронных звёзд с их мощными гравитационными полями евклидова геометрия не даёт точной картины мира. В большинстве же случаев евклидова геометрия даёт очень близкое приближение к реальности

• Однажды Евклида спросили:

— Что бы ты предпочёл – два целых яблока или же четыре половинки?

— Четыре половинки.

— Но разве это не одно и то же?

— Конечно, нет. Ведь выбрав половинки, я сразу увижу, червивые эти яблоки или нет.

• В Египте времён царя Птолемея I (305-283г.г. до н.э.) было два вида дорог: одни для обычных людей, а другие, более короткие и удобные – для царя и его курьеров. Решив как-то изучить геометрию, Птолемей обнаружил, что это не такое простое дело. Тогда он призвал Евклида и спросил, нет ли более лёгкого пути для её изучения.

• В геометрии нет царских путей! – гордо ответил Евклид.

• Евклид создал прибор для определения высоты тона струны и изучал интервальные соотношения, поспособствовав созданию клавишных музыкальных инструментов.

• Говорят, что Авраам Линкольн любил цитировать высказывания Евклида в своих речах и имел при себе несколько томов «Начал». Николай Лобачевский использовал материалы древнегреческого мыслителя для разработки гиперболической геометрии. Формат математики, который создал Евклид, ныне известен как «евклидова геометрия».

• Геометрией Эвклида был очарован Альберт Эйнштейн. Он говорил: «Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там была впервые создана геометрия Евклида — это чудо мысли, логическая система, выводы которой с такой точностью вытекают один из другого, что ни один из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением».

• Существует точка зрения, что Евклид – псевдоним, за которым скрываются несколько ученых и мыслителей.

Труды Евклида отличаются логикой и последовательностью. До сей поры считаются эталоном математического учения.

• У V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:

Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые. Существуют подобные, но не равные треугольники. Любую фигуру можно пропорционально увеличить. Существует треугольник как угодно большой площади. Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую - сближаются. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Существуют такие прямые, что расстояние от точек одной до другой постоянно. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону) расходиться. Сумма углов одинакова у всех треугольников. Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу. Существуют параллельные прямые, причём прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую. Для всякого треугольника существует описанная окружность. Справедлива теорема Пифагора.

Эквивалентность формулировок означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

В неевклидовых геометриях вместо V постулата используется иная аксиома, что позволяет создать альтернативную, внутренне логически непротиворечивую систему. Например, в геометрии Лобачевского формулировка такая: «в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две различные прямые, не пересекающиеся с данной». А в сферической геометрии, где аналогами прямых выступают большие круги, параллельные прямые вообще отсутствуют.

Понятно, что в неевклидовой геометрии все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.