„ДИОФАНТ СРЕДИ ЧИСЕЛ ИСКАЛ УТЕШЕНЬЯ”

Греческие учёные, находившиеся под влиянием Платона, считали геометрию наукой, достойной элиты греческого общества. Геометрия была гимнастикой ума, искусством, её практическое применение считалось унизительным. По этой причине арифметике и алгебре, не связанным с практическими нуждами, уделялось мало внимания, причём часто и там использовались геометрические методы.

        Первым учёным, который занялся преимущественно алгеброй, был выдающийся математик из Александрии Диофант(др.-греч.Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; лат. Diophantus), живший в III веке. Он перенёс в греческую науку достижения вавилонян в области алгебры.

О жизни Диофанта почти ничего неизвестно. Нет даже сведений о годах его жизни.Сгоревшая в 640 году библиотека в Александрии похоронила почти все подробности его жизни.

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н.э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещён отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н.э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Некоторые подробности можно установить из „Эпитафии Диофанта”, которую греческий монах 14-го века МаксиумПлануд поместил в своей антологии:

«В этой могиле Диофанта покоится прах,того Диофанта, который дивным

Искусством владел, позволяющим всем из письмен на этом камне начертанным, умершего жизни предел рассчитать.

Шестую часть жития по милости божией отроком был Диофант неразумным.

Борода у него на лице появилась, когда миновала двенадцатая часть его Жития, а когда истекла часть седьмая,

Младую супругу ввел бог под кров его дома,

Которая на супружества пятом году, малютком

сыночком его одарила.

Однако жесток был судьбы приговор: сын молодой в мрачное царство теней отошёл достигнув едва половины жизниотца.

     Утоляя отцовскую боль,

    Диофант среди чисел искал утешенья.

    Четыре коротких года спустя,

он с жизнью навеки расстался.»

Задача эквивалентна решению следующего уравнения:

Решая это уравнение, находим, что „отец алгебры” Диофант прожил 84 года. Детские годы продолжались 14 лет, бородапоявилась на 21 году. Женился он в 33 года, на 38 году у него родился сын, который умер 42 лет, т.е. на 80-ом году жизни Диофанта. Умер Диофант в возрасте 84 года.

Главный труд Диофанта „Арифметика” (около 250 – 275г.г.) состоял из 13 книг, из которых до нас дошло только шесть книг. Стиль и содержание этих книг существенно отличаются от классических античных сочинений. „Арифметика”  это сборник задач (всего их 189) с решениями и пояснениями. Задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых способов решения. В древности не было принято формулировать методы в общем виде.

В течение многих веков труды Диофанта оставались неизвестными. В 1572 году Рафаэль Бомбелли (1526-1572) в своём труде "Алгебра" опубликовал 143 задачи из обнаруженного им в Ватиканской библиотеке экземпляра "Арифметики" Диофанта. В решении сложной задачи подготовки современников к пониманию общих принципов, лежащих в основе частных задач Диофанта, много сделали Баше де Мезириак и Пьер Ферма.

Диофант умел решать уравнения до третьей степени включительно. Он вводил в уравнения больше неизвестных, чем это делали вавилоняне, применял для неизвестных буквенные обозначения. Диофанта можно считать автором первого алгебраического языка. Например, уравнение

4х+3 = 2x+9 он записывал в виде 4 ar 3 mo is 2 ar 9 mo.

Решая уравнения, Диофант искал только положительные рациональные решения. Поэтому коэффициенты в его уравнениях тщательно подобраны, чтобы такие решения существовали.

Ни одного доказательства теоретико-числовых утверждений до нас от Диофанта не дошло. Многие задачи Диофанта эквивалентны нахождению рациональных точек на окружности или гиперболе. Применяемые им подстановки соответствуют проведению прямых через некоторую точку рассматриваемой кривой и нахождению второй точки пересечения с кривой. Мы не знаем: догадывался ли об этом Диофант, пользовался ли он геометрической интерпретацией? Его произведения не позволяют ответить на эти вопросы.

Введение к первой книге „Арифметики” является первым известным нам изложением основ алгебры. Диофант строит свою алгебру не на базе геометрии, как это было принято в классической греческой математике, а на основе арифметики. Диофант придумал два основных приема решения уравнений:

– перенос неизвестных;

– приведение подобных.

В „Началах” Евклида нет дробей, но есть учение об отношениях целых чисел, над которыми определяется умножение, но не определяется сложение. Диофант при решении задач не делает различия между целыми числамии дробями,называя и те и другиечислами. Более того, Диофант знает и об иррациональных числах, но не включает их в то множество, в котором он ищет решение. При решении ряда задач Диофант применяет замечательные методы, состоящие в том, что зная одно решение соответствующего уравнения, находятся новые его решения.

В 1637г., читая „Арифметику” Диофанта, французский математик Пьер Ферма имел привычку записывать результаты своих размышлений в виде замечаний на полях книги. Комментируя восьмую задачу второй книги „Арифметики”, состоящую в отыскании решений уравнения x2+y2=z2.

Ферма записал: „Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы'”. Это и есть знаменитая Последняя (или Великая) теорема Ферма.

„Арифметика” Диофанта оказала такое же влияние на развитие алгебры и теории чисел, как труды Архимеда на создание исчисления бесконечно малых.

Первое, что было воспринято, это алгебраический метод, наименование степеней неизвестного, отрицательные числа, сведение задач к решению уравнений. Наиболее глубоко методами Диофанта овладели Франсуа Виет и Пьер Ферма. Неопределёнными уравнениями занимались И.Ньютон, Л.Эйлер, К.Якоби, К.Гаусс, А.Пуанкаре.

Судьба работ Диофанта сложна и необычна. Они трижды оказали решающее влияние на формирование науки нового времени: при создании буквенной алгебры, при становлении теории чисел и учения о неопределенных уравнениях, при создании современной арифметики.

Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел — теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений.В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.

В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.

Задачи Диофанта

1, Найти три числа так, чтобы наибольшее превышало среднее на 1/3 наименьшего, чтобы среднее превышало меньшее на 1/3 наибольшего и чтобы наименьшее превышало число 10 на 1/3 среднего числа.

2, Найти два числа, сумма которых 20, а произведение 96.

3, Найти два числа, отношение которых 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5.

4, Найти три числа так, чтобы сумма всех трех и каждых двух были квадратами.