Математика после уроков Задание №4

Решения задач прошлого номера:

2. Если число a1b1c1 отлично от нуля, то оно обладает следующими свойствами:

1. b1 = 9;
2. a1b1c1 делится на 9. Поэтому a1b1c1 – одно из чисел 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990. Остаётся заметить, что 594 → 99 → 891 → 693 → 297 → 495.

3. По условию в комнате находятся пяти- и шестиногие существа, у которых в сумме 39 ног. Число ног у пятиногих оканчивается на 0 или 5. Но на 0 это число оканчиваться не может: тогда число ног у шестиногих будет кончаться на 9. В таком случае пятиногих может быть 1, 3, 5 или 7. Перебором определяем, что пятиногих существ – 3, а шестиногих – 4. То есть в комнате 4 стула и 3 табуретки.
4. Пусть x = 11n + r, где n ≥ 0, 0 ≤ r ≤ 10. Тогда [x/11] = n, n + 1 = [x/10] = = n + [n+r/10], то есть 10 ≤ n + r < 20, 10 – r ≤ n ≤ 19 – r. Для каждого r от 0 до 10 получаем 10 решений. Ответ: 110 решений.
5. Пусть D=b^2–4ac=23, тогда b^2–23=4ac, b^2–25=4ac–2, (b–5)(b+5)= 2(2ac–1), следовательно b^2–25 делится на 4 (так как числа b–5 и b+5 имеют одинаковую чётность), но число 2(2ac–1) не делится на 4. Новое задание:
6. Функция f(x) определена для всех x, кроме 1, и удовлетворяет равенству: . Найдите f(–1).
7. Решите неравенство: [x]•{x} <x – 1.
8. Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень ab - число рациональное? Подсказка. В качестве a можно взять корень из натурального числа.