Математика после уроков. Задание № 7

Решения задач прошлого задания:

1. Заметим. что число S² + C² = (sin²64x + cos²64x) + (sin²65x + cos²65x) + 2(sin 64x sin 65x + cos 64x cos 65x) = 2 + 2cos (65x – 64x) = 2 + 2cos x рационально, откуда cos x – также рациональное число.

     Ввиду формулы cos 2a = 2cos²a - 1, все числа вида cos 2ka также рациональны – в частности, cos64x. Поскольку C рационально, то и второе слагаемое в этой сумме также рационально.

2. Из определения дробной части следует, что 0 ≤ x³ <1, то есть

0 ≤ x <1. Равенство {a + b} = a выполняется тогда и только тогда, когда b – целое число. Поэтому число n = 3x² + 3x – целое. Функция y = 3x³ + 3x возрастает на [0, 1], y(0) = 0, y(1) = 6, поэтому 0 ≤ n < 6, и из корней уравнения

3x² + 3x – n = 0 выбирается лежащий на промежутке [0, 1).

Ответ

3. Можно. Первый случай (гири 200 г и 50 г). 1- ое взвешивание: 4,5 кг= 4,5 кг. 2-ое: 2,25 кг= 2,25 кг. 3-е: 2,25 кг= 2 кг+200 г+50 г.

      Второй случай (гиря 200 г). 1-ое взвешивание: 4,6 кг= 4,4 кг + 200 г. 2-ое: 4,4 кг= 2,2 кг+2,2 кг. 3-е: 2,2 кг= 2 кг+200 г.

Ответ: Сможет в обоих случаях.

Новое задание:

1. В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

Подсказка Подумайте, может ли в комнате быть два красных шара.

2. Альгис всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

3. Альгис всегда говорит правду, а Томас всегда лжёт. Какой вопрос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?