Математика после уроков. Задание № 5

Решения задач предыдущего задания:

1. Подставим в данное равенство значения

 x = 0  и   х= - 1.   Получим:  . 

Следовательно,  2f(–1) = –1 + +f(–1),  то есть  f(–1) = –1.

Ответ: –1.

Замечание

Можно решить и более общую задачу: найти  f(x) для всех значений

 x ≠1.  Действительно, заменив в исходном равенстве x на  x+1/x–1,  получим

Подставив результат в исходное равенство, получим  2f(x) – (x + 1) = x + f(x),  то есть  f(x) = 2x + 1. Этот «фокус» оказался возможным в связи с тем, что функция f(x) = x+1/x-1 обратна сама себе.

2. Обозначим:  [x] = a,  {x} = b,  тогда  x = a + b.

Данное неравенство примет вид: ab < a + b – 1  ⇔  (a – 1)(b – 1) < 0.

Так как  0 ≤ {x} < 1,  то  b < 1.  Тогда  а > 1,  то есть  [x] > 1.  Следовательно,  x ≥ 2.

Ответ: [2, +∞).

3. Первое решение. Примером могут служить числа a=101/2, b=2lg11. В самом деле, ab = (101/2)2lg11 = 10(1/2)*2lg11 = 10lg11 = 11. Осталось показать, что числа 101/2 и lg11 иррациональные. Если бы выполнялось равенство 101/2=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10n2=m2, что невозможно, поскольку в левую часть простой множитель 2 входит в нечетной степени, а в правую часть - в чётной.

Если бы выполнялось равенство lg11=m/n для некоторых натуральных m и n, то было бы верно равенство 10m=11n, что, очевидно, невозможно.

Второе решение. Рассмотрим число A = √2√2. Если оно рационально, задача решена (число √2, как известно, иррационально). Если же A иррационально, то число A√2 = √22 = 2 рационально, поэтому A и √2 - искомые числа.

Ответ: Существуют.

Новое задание:

1. Число x таково, что среди четырёх чисел

ровно одно не является целым. Найдите все такие x.

2. Числа x, y и z таковы, что все три числа x + yz, y + zx и z + xy рациональны, а x² + y² = 1.  Докажите, что число xyz² также рационально.

3. В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16 000.

От редакции: Редакция газеты «Обзор», предлагая своим читателям данные «уроки математики», хотела бы помочь нынешним старшеклассникам в большей степени освоить эту область знаний. Тем более что в последние годы министерство образования неоднократно указывало на то, что школьники в Литве знают математику, мягко говоря, неважно.

Но насколько предлагаемый ныне газетой математический курс всё же интересен сегодняшним старшеклассникам или хотя бы их учителям?

Какой вариант более востребован – бумажный или всё же тот, что по воскресеньям, после выхода очередного номера газеты, публикуется на сайте www.obzor.lt?

Что пригодилось вам, а что нет?

Свои комментарии и предложения вы можете отправлять в редакцию в любом удобном для вас виде: по электронной почте info@obzor.lt, как комментарий под публикациями на сайте или по телефону (+370 5) 275 31 53.