Математика после уроков
Задание № 6
- Заметим, что b и c не могут одновременно быть целыми. Действительно, тогда число b + c = 2x также целое, значит, x рационально, поэтому как a, так и d не будут целыми. Итак, одно из чисел b, c нецелое, а тогда a и d должны оба быть целыми.
Значит, при целом a. Тогда откуда следует, что 2a + 2 = 0 (иначе d иррационально). Итак, осталось проверить, что найденное число подходит: для него целыми будут числа a = –1, b = –2 и
d = –3.
Ответ
- xyz² = xyz² + z – z = xyz² + (x² + y²)z – z = (yz + x)(zx + y) – (xy + z) – рациональное число.
Замечание
Из условий задачи не следует, что все три числа x, y, z рациональны. Например, этим условиям удовлетворяет тройка чисел
- Заметим, что 42 = 2•3•7, то есть все простые множители входят в его разложение в первой степени. Следовательно, чтобы произведение первых двух чисел являлось полным квадратом, второе число должно иметь вид где k1 – натуральное число.
Так как произведение второго и третьего числа – полный квадрат, то третье число, по тем же причинам, имеет вид где k2 – натуральное число, и так далее. Таким образом, все записанные числа, кроме первого, имеют вид где ki – натуральное число, отличное от единицы. Так как все числа различны, то наибольшее из чисел ki не может быть меньше чем 20. Следовательно, одно из записанных чисел не меньше чем
42•20² > 16000.
Новое задание:
- Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x + cos 65x – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Решите уравнение {(x + 1) ³} = x³.
Золотоискатель Джек добыл 9 кг золотого песка. Сможет ли он за три взвешивания отмерить 2 кг песка с помощью чашечных весов: а) с двумя гирями — 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?
Подсказка: Попробуйте начать с деления песка на две равные части.
Валентин Матюхин
